Analyysin perusteet

Wikikirjasto

Analyysiä voidaan pitää yhteisnimikkeenä kaikelle matematiikalle, jossa käsitellään rajaprosesseja. Rajaprosessien ymmärtäminen ja hallitseminen on ensiarvoisen tärkeää mm. sovellettaessa matematiikkaa luonnontieteissä. Näin pyritään ymmärtämään, miksi ja milloin mittaamalla voidaan saada suhteellisen luotettavaa tietoa ilmiöstä.

Esimerkkejä rajaprosesseista, joita analyysin avulla käsitellään.

1. Raja-arvo: Raja-arvo on matemaattinen käsite, jolla kuvataan funktioiden kulun tendenssiä, kun muuttuja lähestyy tiettyä arvoa. Raja-arvo ja funktioiden jatkuvuus ovat läheisessä yhteydessä toisiinsa.

2. Derivaatta: Derivaatta määritellään raja-arvona ja sen avulla saadaan funktioiden muutosnopeuksia ja käyrien tangentteja. Derivaattoja käsittelevää aineistoa kutsutaan differentiaali-laskennaksi

3. Integraali: Integraali saadaan määriteltyä erillisellä rajankäynnillä. Pinta-alat, tilavuudet ja käyrien pituudet ovat integraalilaskennan sovelluksia; sovelluksia on paljon fysiikassa. Osoittautuu että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatioita

Sisällysluettelo

1 Funktiot
- 1.1 Funktion jatkuvuus
- 1.2 Funktiot ja raja-arvot
2 Funktion derivointi
- 2.1 Derivointisääntöjä
3 Funktion integrointi

[muokkaa] Funktiot

[muokkaa] Funktion jatkuvuus

[muokkaa] Funktiot ja raja-arvot

[muokkaa] Funktion derivointi

Derivaatta kuvaa funktion kulkua. Se kertoo funktion "kulmakertoimista", derivaatan ollessa positiivinen on funktio nouseva, derivaatan ollessa negatiivinen on funktio laskeva, ja derivaatan nollakohdassa funktio kulkee x-akselin suuntaisesti.

Funktion $f\!$ derivaattafunktiota merkitään yläpilkulla $f'\!$ . Jossain pisteessä $x 0$ derivaatan ollessa positiivinen, on funktion kuvaaja nouseva.