Geometriset juuret

Yleisesti tunnettujen juurten, kuten neliö- ja kuutiojuuren lisäksi monista muistakin säännöllisistä geometrisista kappaleista ja monikulmioista voidaan laskea sivun pituus lähtien kappaleen tilavuudesta tai monikulmion pinta-alasta. Samalla tavalla kuin kaava

${\sqrt[{square}]{A}}={\sqrt[{2}]{A}}=s,$

jossa A on pinta-ala ja s sivun pituus, muuttaa neliön pinta-alan sivun pituudeksi, esimerkiksi tasasivuisen kolmion pinta-ala voidaan muuttaa sivun pituudeksi kaavalla

${\sqrt[{triangle}]{A}}={\frac {2{\sqrt[{2}]{A}}}{\sqrt[{4}]{3}}}=s,$

Kaava on johdettu tasasivuisen kolmion pinta-alan kaavasta seuraavasti:

$A={\frac {s^{2}{\sqrt[{2}]{3}}}{4}},$

kerrotaan puolittain 4:llä

$4A=s^{2}{\sqrt[{2}]{3}},$

jaetaan puolittain 3:n toisella juurella

${\frac {4A}{\sqrt[{2}]{3}}}=s^{2},$

otetaan puolittain toinen juuri

${\sqrt[{2}]{\frac {4A}{\sqrt[{2}]{3}}}}=s,$

ja sievennetään: toinen juuri 4:stä on 2 ja toinen juuri 3:n toisesta juuresta on neljäs juuri 3:sta

${\frac {2{\sqrt[{2}]{A}}}{\sqrt[{4}]{3}}}=s,$

Vastaavalla tavalla on johdettu seuraavat kaavat:

Kolmiojuuri

${\sqrt[{triangle}]{A}}={\frac {2{\sqrt[{2}]{A}}}{\sqrt[{4}]{3}}}=s,$

Epäsäännöllisen kolmion sivun pituus

Jotta mielivaltaisen kolmion pinta-alasta voitaisiin ratkaista sivujen pituuksia, on tunnettava sivujen väliset kulmat.

Yhden sivun pituus on:

$s={\sqrt[{2}]{\frac {2A(1+{\frac {\left|\tan \alpha \right|}{\left|\tan \beta \right|}})}{\left|\tan \alpha \right|}}}$

jossa α ja β ovat s:n viereiset kulmat. Jos α tai β on 90°, käytettävä kaava on

$s={\sqrt[{2}]{\frac {2A}{\tan \alpha }}}$

jossa α on se s:n viereinen kulma, joka ei ole 90°.

Neliöjuuri

${\sqrt[{square}]{A}}={\sqrt[{2}]{A}}=s,$

Viisikulmiojuuri

${\sqrt[{pentagon}]{A}}={\frac {\sqrt[{2}]{4A}}{\sqrt[{4}]{25+10{\sqrt[{2}]{5}}}}}=s,$

Kuusikulmiojuuri

${\sqrt[{hexagon}]{A}}={\sqrt[{triangle}]{\frac {A}{6}}}={\sqrt {\frac {2A}{3{\sqrt {3}}}}}=s,$

Tetraedrijuuri

${\sqrt[{tetrahedron}]{V}}={\sqrt[{3}]{\frac {12V}{\sqrt[{2}]{2}}}}=s,$

Kuutiojuuri

${\sqrt[{cube}]{V}}={\sqrt[{3}]{V}}=s,$

Ominaisuuksia

Neliöjuuren ja kuutiojuuren ominaisuuksia on määritelty niille erikseen tehdyillä sivuilla.

Kolmiojuuren ominaisuuksia: Olkoot a ja b mielivaltaisia ei-negatiivisia reaalilukuja ja m ja n ei-negatiivisia kokonaislukuja, joista m on n:n toinen potenssi.

${\sqrt[{triangle}]{a}}\cdot {\sqrt[{triangle}]{b}}={\frac {2{\sqrt[{triangle}]{ab}}}{\sqrt[{4}]{3}}},$

${\frac {\sqrt[{triangle}]{a}}{\sqrt[{triangle}]{b}}}={\sqrt[{2}]{\frac {a}{b}}},\qquad (b\neq 0)$

${\sqrt[{triangle}]{ma}}=n{\sqrt[{triangle}]{a}},$

jos ja vain jos

${\sqrt[{2}]{m}}=n$