Matematiikka/Potenssilasku

Tässä luvussa opetellaan laskemaan potenssilaskuja.

Potenssi

Potenssi on matemaattinen lyhennysmerkintä. Potenssilla $2^{4}$ tarkoitetaan samaa kuin tulolla $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, eli luku 2 kerrotaan itsellään neljä kertaa. Yleisesti tämä sääntö voidaan ilmaista $x^{n}=\underbrace {x\cdot x\cdot x\cdot ...\cdot x} _{\text{n kpl}}$, jossa x on kantaluku ja n eksponentti. Neliöllä tarkoitetaan jonkin luvun toista eksponenttia, ja kuutiolla kolmatta. Kun neliön pituus on x, neliön pinta-ala on x:n neliö eli $x^{2}$. Kun kuution sivun pituus on x, sen tilavuus on x:n kuutio, $x^{3}$. Kun kantaluvun edessä on miinusmerkki eikä niiden ympärillä ole sulkeita, koskee miinusmerkki koko lauseketta ja vastaus on siten aina negatiivinen. Kun kantaluvun ja miinusmerkin ympärillä on sulkeet, on kantaluku negatiivinen ja vastaus riippuu eksponentista: kun eksponentti on parillinen, vastaus on positiivinen, muuten negatiivinen.

Esimerkkejä:

• $5^{4}=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625$
• $4^{3}=4\cdot 4\cdot 4=64$

Negatiivinen kantaluku:

• $(-2)^{4}=-2\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16$
• $(-2)^{3}=-2\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$

Huom. tässä edessä oleva miinusmerkki koskee koko lauseketta ja eksponentin kantaluku on itse asiassa positiivinen.

• $-2^{4}=-(2^{4})=-2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=-16$

Negatiivinen eksponentti:

• $2^{-2}={\frac {1}{2^{2}}}$.
• $a^{-b}={\frac {1}{a^{b}}}$.

Neliö ja kuutio:

• Kahden neliö on $2^{2}=4$
• Kahden kuutio on $2^{3}=8$

Potenssien laskusääntöjä

• Olkoon m ja n positiivisia kokonaislukuja. Tällöin $x^{m+n}=x^{m}\cdot x^{n}$, $(x^{m})^{n}=x^{mn}$ ja ${\frac {x^{m}}{x^{n}}}=x^{m-n}$. Jos $x\not =0$, niin $x^{0}=1$.
• Potenssi voidaan myös laajentaa muillekin kuin kokonaislukueksponenteille, esimerkiksi kokonaislukujen käänteisluvuille, jolloin saadaan juurifunktiot. Juurifunktio on potenssifunktion käänteisfunktio.
• Suuret luvut voidaan merkitä kymmenpotenssimuodolla $10^{10}=10000000000$. Se säästää aikaa, sillä muuten täytyisi kirjoittaa 10 000 000 000, eli kymmenen miljardia, luku, jossa on kymmenen nollaa. Lisäksi $5,4\cdot 10^{10}=54000000000$, eli luku, jossa on kymmenen numeroa ensimmäisen numeron jälkeen, ja jonka ensimmäiset numerot ovat 5 ja 4. Lisäksi $10^{-4}=0,0001$, eli luku, jossa on ensin neljä nollaa ja sitten yksi. Pilkku tulee panna ensimmäisen numeron jälkeen. Tätäkin voi muuttaa: $2,4\cdot 10^{-4}=0,00024$, eli luku, jossa on ensin neljä nollaa, sitten 2 ja 4, ja pilkku ensimmäisen numeron jälkeen.

Potenssikaavoja

• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
• $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
• $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Potenssikaavoja voidaan käyttää laskutoimitusten lyhentämiseen, ja toisaalta myös "peruuttamiseen".

Tulo ja osamäärä voidaan ottaa potensseista erikseen: $(ab)^{2}=a^{2}\cdot b^{2}\ {\text{ja}}\ ({\frac {a}{b}})^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}$.

Tehtäviä

Vastaukset saat esiin tummentamalla hiirellä vastauksen.

1. $2^{4}=$. Vastaus:16
2. $6^{4}=$. Vastaus:1296
3. $3^{3}=$. Vastaus:27
4. $10^{5}=$. Vastaus:100 000
5. $10^{-3}=$. Vastaus: 0,001
6. Muuta kymmenpotenssimuotoon: 10 000 000. Vastaus: 10⁷
7. $2^{2+3}=$. Vastaus: 2²·2³=4·8=32
8. Laske neliön pinta-ala, kun sivun pituus on 4 m. Vastaus: (4 m)² = 16 m².