Matematiikka/Derivaattafunktio

Derivaatta on lyhyesti sanottuna funktion muutosnopeus tai funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin. Koska funktion tangentin kulmakerroin on ääriarvokohdassa nolla, jos derivaatta on olemassa, on derivaattaa helppo soveltaa funktion ääriarvojen etsimiseen. Derivaatan yleisin merkintä on $f'(x)$ derivoitaessa funktiota $f(x)$. Myös isolla D-kirjaimella voidaan merkitä derivaattaa.

Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvon avulla: ${f}'(x)=\lim _{h\to 0}{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ tai ${f}'({{x}_{0}})=\lim _{x\to x_{0}}{\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$. Derivaattafunktioita on kuitenkin helpompi määrittää näistä kaavoista johdettujen derivoimissääntöjen avulla.

Yksinkertaisia derivoimissääntöjä

Koska derivaatta on funktion tangentin kulmakerroin, on helppo nähdä, että esimerkiksi suoran $f(x)=3x$ derivaatta on kulmakerroin, joten $f'(x)=3$. Vakion voi siirtää myös derivoitavan funktion edelle. Koska vakiofunktion $g(x)=c$ kulmakerroin on aina nolla, niin $g'(x)=0$. Polynomifunktio voidaan derivoida siten, että eksponentin muuttaa kertoimeksi ja eksponenttia vähentää yhdellä. Polynomifunktiot voidaan derivoida termeittäin.

Siis:

1. $Dk=0$, missä $k\in \mathbb {R}$ on vakio
2. $D(kx)=k$ (ja $Dx=1$)
3. $D(k(f(x)))=kD(f(x))$
4. $D(x^{n})=nx^{n-1}$ Tämä sääntö pätee myös negatiivisille ja ei-kokonaisluvuille $n$, siis myös juurille, kun juuren muuttaa murtopotenssiksi.
5. $D(f(x)+g(x))=D(f(x))+D(g(x))$

Yhdistetyn funktion derivaatta

Yhdistetty funktio: $f(g(x))=(f\circ g)(x)$. Yhdistetyn funktion derivaatta on ulkofunktion derivaatta sisäfunktion kohdassa kertaa sisäfunktion derivaatta (ketjusääntö).

Siis:

6. $D(f(g(x)))=f'(g(x))g'(x)$
7. $D((f(x))^{n})=nf(x)^{n-1}f'(x)$ (Saadaan soveltamalla ketjusääntöä.)

Tulon ja osamäärän derivaatta

Seuraavia kaavoja sovelletaan, kun määritetään sellaista derivaattaa, jossa on kahden funktion tulo tai osamäärä. Huomaa, että esimerkiksi funktiossa $f(x)=3x$ on tulo, ja tulon derivoimiskaava pätee tähänkin funktioon, mutta helpommalla pääsee soveltamalla em. kaavoja 2 ja 3, jolloin saadaan $D(3x)=3D(x)=3\cdot 1=3$. Samoin $D({\frac {x}{6}})=D({\frac {1}{6}}x)={\frac {1}{6}}Dx={\frac {1}{6}}$.

8. $D(f(x)g(x))=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$
9. $D({\frac {f(x)}{g(x)}})={\frac {f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^{2}}}$

Nämä kaavat saattavat olla helpompia muistaa sanallisesti. Tulon derivaatta saadaan derivoimalla ensin toinen tulon tekijä ja kertomalla se toisella tekijällä sellaisenaan sekä lisäämällä siihen sen tekijän derivaatta, jota ei derivoitu, ja kertomalla se toisella tekijällä sellaisenaan. Osamäärän derivaatta on osoittajan derivaatta kertaa nimittäjä miinus nimittäjän derivaatta kertaa osoittaja jaettuna nimittäjän neliöllä.

Trigonometristen funktioiden derivaatta

Sinifunktio derivoituu kosinifunktioksi ja kosinifunktio sinifunktion vastafunktioksi. Tangenttifunktion derivaatta saadaan käyttämällä kaavaa $tan\ x={\frac {sin\ x}{cos\ x}}$ sekä kaavaa $sin^{2}x+cos^{2}x=1$.

Siis

10. $D(sin\ x)=cos\ x$
11. $D(cos\ x)=-sin\ x$
12. $D(tan\ x)={\frac {1}{cos^{2}x}}=1+tan^{2}x$

Ketjusäännöllä saadaan, että $D(sin(f(x)))=f'(x)cos(f(x))$. Ketjusääntöä voidaan soveltaa myös muihin kaavoihin samalla idealla.

Lisäksi yhdistetyn funktion derivoimissäännön perusteella esimerkiksi $D(sin\ f(x))=cos\ f(x)\cdot f'(x)$.

Eksponentti- ja logaritmifunktion derivointi

Eksponenttifunktio säilyy derivoinnissa ennallaan, mutta se kerrotaan eksponenttifunktion kantaluvusta otetulla luonnollisella logaritmilla.

Siis

13. $D(a^{x})=a^{x}\cdot ln\ a$
14. $D(e^{x})=e^{x}$, sillä $ln\ e=1$

Logaritmifunktion derivointi:

15. D($ln\left|x\right|)={\frac {1}{x}}$ kun $x\neq 0$
16. $D({\text{log}}_{a}x)={\frac {1}{x\cdot {\text{ln}}a}}$

Derivaatan sovelluksia

Kun derivoituvaa funktiota tarkastellaan suljetulla välillä, se saa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdissa tai suljetun välin päätepisteissä (Fermat'n lause). Lausetta soveltamalla voidaan etsiä funktion ääriarvoja derivaatan avulla. Kun funktion määrittelyjoukko on jokin muu kuin suljettu väli, voidaan selvittää derivaatan nollakohdat, sillä derivoituva funktio saa ääriarvonsa derivaatan nollakohdissa. Erityistä huomiota kuitenkin vaativat mahdolliset kohdat, joissa funktio ei ole derivoituva. Koska derivaatta on funktion käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin, voidaan funktiolle tiettyyn pisteeseen piirretyn tangentin ja toisaalta myös normaalin yhtälö saada selville derivaatan avulla.

Tehtäviä

1. Määritä funktioiden $f(x)=4x+3$, $g(x)=5x-3$ ja $h(x)=-x$ derivaattafunktiot.
2. Määritä funktioiden $f(x)=x^{2}$, $g(x)=3x^{3}+4x-2$ ja $h(x)=-2x^{7}-5x$ derivaattafunktiot.
3. Määritä funktioiden $f(x)=sin(3x),g(x)=-cos(2x)$ ja $h(x)=cos(-x^{4}+3x)$ derivaattafunktiot.
4. Määritä funktioiden $f(x)=3^{x},g(x)=e^{2x}$ ja $h(x)=3x\cdot 4^{3x^{2}}$ derivaattafunktiot.
5. Määritä funktioiden $f(x)=x\cdot lnx,g(x)=log_{3}x\cdot x^{2}$ ja $h(x)={\frac {{\sqrt {2x}}\cdot e^{x}}{4x^{6}}}$ derivaattafunktiot.
6. Merkitään $f(x)=3x^{5}-4$. Määritä $f'(2)$.
7. Mikä on funktion $f(x)=x^{3}$ muutosnopeus kohdassa 2?
8. Määritä paraabelin $f(x)=2x^{2}-3x$ huipun x-koordinaatti käyttäen derivaattaa pohtien ensiksi, mitä derivaatta on paraabelin huipulla.
9. Määritä paraabelin $f(x)=4x^{2}-7x+2$ pienin ja suurin arvo käyttäen derivaattaa.
10. Määritä funktion $4x^{3}+3x^{2}-6x$ suurin ja pienin arvo välillä $[0,1]$ käyttäen derivaattaa ja Fermat'n lausetta.
11. Onko paraabelin $2x^{2}-6x$ huippu välillä $[0,2]$? Vihje: Bolzanon lause: jos $f(a)$ ja $f(b)$ ovat erimerkkiset ja f on jatkuva, niin on olemassa $c\in [a,b]$, missä $f(c)=0$. Vetoa derivaattaan ja Bolzanon lauseeseen. Yritä tehdä tehtävä ratkaisematta itse huipun x-koordinaattia, sillä se on tarpeetonta.

Ratkaisut

1. $f'(x)=4,g'(x)=5,h'(x)=-1$
2. $f'(x)=2x,g'(x)=9x^{2}+4,h'(x)=-14x^{6}-5$
3. $f'(x)=3cos(3x),g'(x)=2sin(2x),h'(x)=(4x^{3}-3)\cdot sin(-x^{4}+3x)$
4. $f'(x)=3^{x}\cdot ln3,g'(x)=2e^{2x},h'(x)=3\cdot 4^{3x^{2}}+18x^{2}\cdot ln4\cdot 4^{3x^{2}}$
5. $f'(x)=lnx+1,g'(x)={\frac {x}{ln3}}+2x\cdot log_{3}x,h'(x)={\frac {e^{x}\cdot {\sqrt {2x}}\cdot (x-{\frac {11}{2}})}{4x^{7}}}$ Huomautus: $h'(x)$ voidaan esittää hyvin monin eri tavoin.
6. 240
7. 12
8. ${\frac {3}{4}}(=0,75)$
9. Pienin arvo $-{\frac {17}{16}}$. Ei suurinta arvoa.
10. Pienin arvo $-{\frac {7}{4}}$, suurin arvo 1.
11. On.