Matematiikka/Derivaattafunktio

Derivaatta on lyhyesti sanottuna funktion muutosnopeus tai funktion kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin. Koska funktion tangentin kulmakerroin on ääriarvokohdassa nolla, on derivaattaa helppo soveltaa funktion ääriarvojen etsimiseen. Derivaatan yleisin merkintä on $f'(x)$ derivoitaessa funktiota $f(x)$. Myös isolla D-kirjaimella voidaan merkitä derivaattaa.

Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvon avulla: ${f}'(x)=\lim _{h\to 0}{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ tai ${f}'({{x}_{0}})=\lim _{x\to x_{0}}{\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$. Derivaattafunktioita on kuitenkin helpompi määrittää näistä kaavoista johdettujen derivoimissääntöjen avulla.

Yksinkertaisia derivoimissääntöjä

Koska derivaatta on funktion tangentin kulmakerroin, on helppo nähdä, että esimerkiksi suoran $f(x)=3x$ derivaatta on kulmakerroin, joten $f'(x)=3$. Vakion voi siirtää myös derivoitavan funktion edelle. Koska vakiofunktion $g(x)=c$ kulmakerroin on aina nolla, niin $g'(x)=0$. Polynomifunktio voidaan derivoida siten, että eksponentin muuttaa kertoimeksi ja eksponenttia vähentää yhdellä. Polynomifunktiot voidaan derivoida termeittäin.

Siis:

1. $Dk=0$, missä $k\in \mathbb {R}$ on vakio
2. $D(kx)=k$ (ja $Dx=1$)
3. $D(k(f(x))=kD(f(x))$
4. $D(x^{n})=nx^{n-1}$
5. $D(f(x)+g(x))=D(f(x))+D(g(x))$

Yhdistetyn funktion derivaatta

Yhdistetty funktio: $f(g(x))=(f\circ g)(x)$. Yhdistetyn funktion derivaatta on ulkofunktion derivaatta sisäfunktion kohdassa kertaa sisäfunktion derivaatta (ketjusääntö).

Siis:

6. $D(f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$
7. $D((f(x))^{n})=nf(x)^{n-1}f'(x)$ (Saadaan soveltamalla ketjusääntöä.)

Tulon ja osamäärän derivaatta

Seuraavia kaavoja sovelletaan, kun määritetään sellaista derivaattaa, jossa on kahden funktion tulo tai osamäärä. Huomaa, että esimerkiksi funktiossa $f(x)=3x$ on tulo, ja tulon derivoimiskaava pätee tähänkin funktioon, mutta helpommalla pääsee soveltamalla em. kaavoja 2 ja 3, jolloin saadaan $D(3x)=3D(x)=3\cdot 1=3$. Samoin $D({\frac {x}{6}})=D({\frac {1}{6}}x)={\frac {1}{6}}Dx={\frac {1}{6}}$.

8. $D(f(x)g(x))=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$
9. ${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^{2}}}$

Nämä kaavat saattavat olla helpompia muistaa sanallisesti. Tulon derivaatta saadaan derivoimalla ensin toinen tulon tekijä ja kertomalla se toisella tekijällä sellaisenaan sekä lisäämällä siihen sen tekijän derivaatta, jota ei derivoitu, ja kertomalla se toisella tekijällä sellaisenaan. Osamäärän derivaatta on osoittajan derivaatta kertaa nimittäjä miinus nimittäjän derivaatta kertaa osoittaja jaettuna nimittäjän neliöllä.

Trigonometristen funktioiden derivaatta

Sinifunktio derivoituu kosinifunktioksi ja kosinifunktio sinifunktion vastafunktioksi. Tangenttifunktion derivaatta saadaan käyttämällä kaavaa $tan\ x={\frac {sin\ x}{cos\ x}}$ sekä kaavaa $sin^{2}x+cos^{2}x=1$.

Siis

10. $D(sin\ x)=cos\ x$
11. $D(cos\ x)=-sin\ x$
12. $D(tan\ x)={\frac {1}{cos^{2}x}}=1+tan^{2}x$

Lisäksi yhdistetyn funktion derivoimissäännön perusteella esimerkiksi $D(sin\ f(x))=cos\ f(x)\cdot f'(x)$.

Eksponenttifunktion derivointi

Eksponenttifunktio säilyy derivoinnissa ennallaan, mutta se kerrotaan eksponenttifunktion kantaluvusta otetulla luonnollisella logaritmilla.

Siis

13. $D(a^{x})=a^{x}\cdot ln\ a$
14. $D(e^{x})=e^{x}$, sillä $ln\ e=1$

Derivaatan sovelluksia

Fermat'n lauseen mukaan funktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa suljetun välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa. Lausetta soveltamalla voidaan etsiä funktion ääriarvoja derivaatan avulla. Kun funktion määrittelyjoukko on jokin muu kuin suljettu väli, voidaan selvittää derivaatan nollakohdat, sillä funktio saa ääriarvonsa tällöin derivaatan nollakohdissa. Koska derivaatta on funktion käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin, voidaan funktiolle tiettyyn pisteeseen piirretyn tangentin yhtälö saada selville derivaatan avulla.