Matematiikka/Erilaisia funktioita

Funktion jokaisella määrittelyjoukon alkiolla on täsmälleen yksi kuva johonkin maalijoukon alkioon. Niitä maalijoukon alkioita, joilla on kuva johonkin määrittelyjoukon alkioon, kutsutaan arvojoukoksi. Funktion määrittelyjoukolla tarkoitetaan niitä alkioita, joille funktio on määritelty. Maalijoukkoon kuuluvat ne alkiot, joille funktion arvot voivat osua. Funktio ei kuitenkaan välttämättä osu kaikkiin maalijoukon alkioihin; sen sijaan funktio osuu kaikkiin arvojoukon alkioihin. Esimerkiksi merkintä $f:A\rightarrow B$ tarkoittaa sellaista funktiota $f$, jonka määrittelyjoukko on $A$ (ennen nuolta) ja maalijoukko $B$ (nuolen jälkeen). Huomaa, ettei merkintä kerro arvojoukosta mitään (paitsi sen, että arvojoukko on maalijoukon osajoukko, mikä on aina tosi).

Funktio on injektio, kun kaikilla sen arvojoukon alkioilla on täsmälleen yksi kuva funktion määrittelyjoukossa. Funktio on surjektio, kun sen maalijoukko on sama kuin sen arvojoukko. Kun nämä molemmat ehdot täyttyvät, on funktio bijektio.

• 
  Injektio, muttei surjektio
• 
  Surjektio, muttei injektio
• 
  Bijektio eli sekä injektio että surjektio

Vakiofunktiot

Vakiofunktiot ovat muotoa $f(x)=k$. Vakiofunktio saa kaikilla muuttujan arvoilla saman arvon. Funktion määrittelyjoukko on $\mathbb {R}$ ja arvojoukko on ${k}$. Funktion määrittelyjoukoksi voidaan määritellä jokin suppeampikin joukko. Funktion maalijoukoksi voidaan määritellä mikä tahansa joukko, joka sisältää arvon k.

Suorat

Suorat ovat muotoa $f(x)=ax+b$, missä $a$ on suoran kulmakerroin. Suoran kulmakerroin kertoo sen, kuinka paljon y-akselilla liikutaan, kun x-akselilla mennään yksi eteenpäin. Kulmakerroin saadaan siis myös kaavasta $k={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$. Vakio b kertoo, millä y:n arvolla suora leikkaa y-akselin ($x=0$). Suora on nouseva kulmakertoimen ollessa positiivinen ja laskeva kulmakertoimen ollessa negatiivinen. Kun kulmakerroin on nolla, suora on vaakasuora ($f(x)=b$ eli vakiofunktio). Pystysuoralla suoralla ei ole kulmakerrointa, ja se on muotoa $x=c$. Suoran nollakohta voidaan ratkaista helposti asettamalla funktion arvoksi nolla: $ax+b=0$, joten $x=-{\frac {b}{a}}$. Jos suora ei ole pystysuora, se on määritelty reaalilukujen joukossa. Lisäksi sen arvojoukko ja maalijoukko on reaaliluvut, kun suora ei ole vaakasuora.

• 
  Suorat $f(x)=2x+3$ ja $g(x)=3x-1$ sekä niiden leikkauspiste

Paraabelit

Paraabelit ovat muotoa $f(x)=ax^{2}+bx+c$, missä $a\neq 0$. Paraabeli on ylöspäin aukeava, kun $a>0$ ja alaspäin aukeava, kun $a<0$. Paraabelin määrittelyjoukko on kaikki reaaliluvut, mutta sen arvojoukko on ylöspäin aukeavissa paraabeleissa $[a,\infty [$ ja alaspäin aukeavissa $]-\infty ,a]$, missä a on funktion arvo huipulla, sillä paraabelilla ei ole arvoja joko huipun ylä- tai alapuolella riippuen paraabelin tyypistä. Paraabeli on peilikuva huipulle piirretyn pystysuoran suhteen. Paraabeli ei ole injektio: esimerkiksi perusparaabelin $f(x)=x^{2}$ muuttujan arvoilla $x=2$ ja $x=-2$ saadaan sama funktion arvo $f(x)=4$, koska $a^{2}=(-a)^{2}$.

• 
  Perusparaabeli $f(x)=x^{2}$

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Eksponenttifunktiot ovat muotoa $f(x)=a^{x}$, missä a on vakio, $a>0,a\neq 1$. Eksponenttifunktion määrittelyjoukko on reaaliluvut ja arvojoukko on positiiviset reaaliluvut. Eksponenttifunktio ei voi saada negatiivisia arvoja edes negatiivisilla muuttujan arvoilla, sillä $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$.

Logaritmifunktio on muotoa $f(x)=log_{a}\ x$, missä a on vakio, $a>0,a\neq 1$. Logaritmifunktion arvojoukko on reaaliluvut ja määrittelyjoukko positiiviset reaaliluvut. Logaritmifunktion ja eksponenttifunktion välillä on seuraava suhde: $a^{y}=x\Leftrightarrow log_{a}\ x=y$. Koska eksponenttifunktio ei voi saada negatiivisia arvoja eikä nollaa, $x>0$ ja tämän takia logaritmifunktio on määritelty vain positiivisilla luvuilla. Funktiossa $f(x)=log_{a}\ x$ a:ta kutsutaan logaritmin kantaluvuksi. Merkintöjä: $log_{e}\ x=ln\ x$ (missä $e\approx 2,7$ on Neperin luku) ja $log_{10}\ x=lg\ x$.

• 
  Logaritmifunktioita
• 
  Eksponenttifunktio $f(x)=e^{x}$

Sini- ja kosinifunktiot

Sini- ja kosinifunktiot ovat samankaltaisia funktioita, koska kosini tarkoittaa komplementtikulman siniä. Funktioiden $sin\ x$ ja $cos\ x$ määrittelyjoukko on reaaliluvut ja arvojoukko $[-1,1]$. Koska funktiot ovat aaltoilevia, on yhtälöille muotoa $sin\ x=k$ ääretön määrä ratkaisuja. Yhtälöiden ratkaisut saadaan kaavoista $\sin x=\sin y\Leftrightarrow x=y+n2\pi \lor x=\pi -y+n2\pi ,n\in \mathbb {Z}$ ja $\cos x=\cos y\Leftrightarrow x=\pm y+n2\pi ,n\in \mathbb {Z}$. Sini- ja kosinifunktion perusjakso tarkoittaa yhtä aaltoa. Perusjakson aikana funktio saa siis sekä suurimman että pienimmän arvonsa, ja perusjakson molempien päätepisteiden arvot ovat samat.

• 
  Sini- ja kosinifunktion perusjaksot

Ympyrä, ellipsi ja hyperbeli

Ympyrää, ellipsiä ja hyperbeliä yhdistää se, että niiden yhtälöissä on termi $y^{2}$. Ympyrän yhtälö on muotoa $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}$, missä keskipiste $(x_{0},y_{0})$ ja säde $r$. Ellipsin yhtälö on muotoa ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$, missä a ja b ovat puoliakselit. Hyperbelin yhtälö on muotoa ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$. Hyperbelillä on asymptootit, joilla tarkoitetaan käyriä (hyperbelin tapauksessa suoria), joita hyperbeli lähestyy, muttei saavuta. Ympyrällä tarkoitetaan sellaista pistejoukkoa, jonka etäisyys tietystä pisteestä (keskipisteestä) on aina sama. Ellipsi puolestaan on "litistynyt ympyrä".

• 
  Ellipsi. Kuvaan merkityt a ja b ovat puoliakseleita.
• 
  Kaksi hyperbeliä. Punaisella hyperbelien asymptootit.

Yhdistetty funktio

Yhdistetty funktio: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$, missä f sisäfunktio ja g ulkofunktio. Esimerkiksi $sin(2x)$ voidaan tulkita yhdistettynä funktiona, jonka ulkofunktio on $f(x)=sin(x)$ ja sisäfunktio $g(x)=2x$ ja tällöin $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x)=sin(2x)$. Sisäfunktion määrittelyjoukko kuvautuu ulkofunktion maalijoukolle: kun $f:A\rightarrow B$ on sisäfunktio ja $g:C\rightarrow A$ ulkofunktio, niin $f\circ g:C\rightarrow B$.

• 

Käänteisfunktio

Kun $(f\circ g)(x)=f(g(x))=x$ ja $(g\circ f)(x)=g(f(x))=x$, niin f ja g ovat toistensa käänteisfunktioita. Esimerkiksi sini- ja arkussinifunktiot ovat toistensa käänteisfunktioita. Funktion f käänteisfunktiota merkitään usein $f^{-1}$. Funktion $f^{-1}$ määrittelyjoukko on f:n arvojoukko ja arvojoukko on f:n määrittelyjoukko. Funktiot $f$ ja $f^{-1}$ ovat toistensa peilikuvat suoran $y=x$ suhteen. Siis jos funktiolla on leikkauspiste käänteisfunktionsa kanssa, on se suoralla $y=x$ ja koordinaatit ovat samat. Funktiolla voi olla käänteisfunktio vain, jos se on bijektio: jos funktio ei olisi surjektio, kaikille käänteisfunktion määrittelyjoukon alkioille ei olisi kuvaa arvojoukossa ja jos funktio ei olisi injektio, jollekin käänteisfunktion määrittelyjoukon alkiolle olisi useampi kuva arvojoukossa. Nämä eivät ole funktiossa mahdollisia.