Matematiikka/Funktioiden leikkauspisteet

Kahden tai useamman käyrän leikkauspisteet saadaan selville yksinkertaisesti tekemällä niistä yhtälöpari ja ratkaisemalla se. Esimerkiksi suorien $y=x+4$ ja $y=-x+6$ leikkauspisteet saadaan selville seuraavasti:
${\begin{cases}y=x+4\\y=-x+6\end{cases}}$
$x+4=-x+6$
$2x=2$
$x=1$
$y=1+4=5$
Siis leikkauspiste $(1,5)$.

Tarkistus sijoittamalla:

1. $1+4=5$
2. $-1+6=5$

Tarkistuksen voi tehdä myös graafisesti.

Usein yhtälöparin rakentaminen voidaan ohittaa ja on nopeampi esimerkiksi merkitä funktiot yhtä suuriksi: $y=y$, joten $x+4=-x+6$. Toisinaan myös suoraan sijoittaminen on nopeampaa: funktioiden $f(x)=2$ ja $f(x)=x^{2}+1$ leikkauspisteet saadaan sijoittamalla: $x^{2}+1=2$, joten $x^{2}=1$, joten leikkauskohdat $x=1,x=-1$ ja arvot saadaan funktiosta $f(x)=2$. Siis leikkauspisteet $(1,2)$ ja $(-1,2)$.

Tehtäviä

Määritä annettujen käyrien leikkauspisteet.

1. $f(x)=x+4,g(x)=2x$
2. $f(x)=-3x,g(x)=x$
3. $f(x)=x^{2},g(x)=-1$
4. $f(x)=2x+3,g(x)=4x-1$
5. $x+y=0,y=2x$
6. $f(x)=x^{2}+3x-2,g(x)=2x+4$
7. $f(x)=2x^{2}-2x+5,g(x)=-x^{2}+x$
8. $x^{2}+y^{2}=1,y=x$
9. $f(x)=sin\ x,g(x)=0$
10. $f(x)=lg\ x,g(x)=0$

Tehtävien ratkaisut

Tehtävä 1.
Merkitään $f(x)=g(x)$, jolloin $x+4=2x$. Tällöin $x=4$ ja $g(4)=8$, joten leikkauspiste $(4,8)$.
Tehtävä 2.
Merkitään $f(x)=g(x)$, jolloin $-3x=x$ tosi, kun </math>x=0</math>. Koska $g(0)=0$, niin leikkauspiste $(0,0)$.
Tehtävä 3.
Koska $x^{2}\geq 0\forall x\in \mathbb {R}$, niin $f(x)\neq g(x)$ kaikilla x. Siis leikkauspisteitä ei ole.
Tehtävä 4.
$2x+3=4x-1$, joten $2x=4$, joten $x=2$. Sijoittamalla saadaan $f(2)=7$. Tarkistus: $g(2)=7$. Leikkauspiste on siis $(2,7)$.
Tehtävä 5.
$x+y=0$, joten $y=-x$. Vertailemalla saadaan $2x=-x$, joten leikkauspiste $(0,0)$ (ratkaise x:n suhteen ja sijoita).
Tehtävä 6.
$x^{2}+3x-2=2x+4$, joten $x^{2}+x-6=0$. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan, että $x=2$ tai $x=-3$, jolloin $g(2)=8$ ja $g(-3)=-2$. Siis leikkauspisteet $(2,8)$ ja $(-3,-2)$. Tarkistus sijoittamalla f:n yhtälöön.
Tehtävä 7.
$2x^{2}-2x+5=-x^{2}+x$, joten $3x^{2}-3x+5=0$. Toisen asteen yhtälön diskriminantti $D=b^{2}-4ac=9-4\cdot 3\cdot 5=-51<0$, joten ei ratkaisuja. Käyrät eivät leikkaa.
Tehtävä 8.
$x^{2}+y^{2}=1,y=x$ Sijoitetaan $y=x$: $x^{2}+x^{2}=1$, joten $x^{2}={\frac {1}{2}}$, joten $x=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}$. Leikkauspisteet $({\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {2}}})$, $(-{\frac {1}{\sqrt {2}}},-{\frac {1}{\sqrt {2}}}).$
Tehtävä 9.
$sin\ x=0$, kun $x=n\cdot \pi$, missä $n\in \mathbb {Z}$. Siis leikkauspisteitä ovat kaikki $(n\pi ,0)$, missä $n\in \mathbb {Z}$. Vaihtoehto: siniyhtälön ratkaisukaava.
Tehtävä 10.
Merkitään $f(x)=g(x)$ joten $lg\ x=0$. Koska $\log _{a}x=y\Leftrightarrow {{a}^{y}}=x$ niin $10^{0}=x$ eli $x=1$, joten leikkauspiste $(1,0)$.
Tapa 2:
Logaritmifunktion ominaisuus: funktio kulkee aina pisteen $(1,0)$ kautta. Koska $lg\ x=0$ niin leikkauspiste on $(1,0)$.