Matematiikka/Integraalifunktio

Integraali tarkoittaa derivaatan käänteistoimintoa: kun $F'(x)=f(x)$, niin $\int f(x)dx=F(x)$. Koska vakio derivoituu nollaksi (vakio ei vaikuta funktion tangentin kulmakertoimeen), on integraalifunktioita olemassa ääretön määrä, joten integroitaessa on lisättävä integroimisvakio: $\int f(x)dx=F(x)+C$.

Yksinkertaisia integroimiskaavoja

1. $\int 0dx=C$
2. $\int kdx=kx+C$
3. $\int f(x)dx+\int g(x)dx=\int (f(x)+g(x))dx$
4. $k\int f(x)dx=\int kf(x)dx$
5. $\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$ kun $n\neq -1$
6. $\int x^{-1}dx=\int {\frac {1}{x}}dx={\text{ln}}\left|x\right|+C$

Esimerkki: $\int x^{3}dx={\frac {1}{4}}x^{4}+C$.

Integroimiskaavat voidaan osoittaa todeksi derivoimalla. Esimerkki: $D({\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C)={\frac {1}{n+1}}\cdot D(x^{n+1})={\frac {1}{n+1}}\cdot (n+1)\cdot x^{n}=x^{n}$.

Trigonometristen funktioiden ja eksponenttifunktioiden integrointi

7. $\int {\text{sin}}(x)dx=-{\text{cos}}(x)+C$
8. $\int {\text{cos}}(x)dx={\text{sin}}(x)+C$
9. $\int e^{x}dx=e^{x}+C$
10. $\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{{\text{ln }}a}}+C$ kun $a>0,a\neq 1$

Yhdistetyn funktion integrointi

11. $\int f'(x)(f(x))^{n}dx={\frac {(f(x))^{n+1}}{n+1}}+C$ Sisäfunktion $f(x)$ derivaatta on siis järjestettävä integraalin alle. Tämä johtuu yhdistetyn funktion derivoimissäännöstä.
12. $\int f'(x){\text{sin}}(f(x))dx=-{\text{cos}}f(x)+C$
13. $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\text{ln}}\left|f(x)\right|+C$
14. $\int f'(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+C$

Esimerkki: $\int _{}^{}\left(2x+1\right)^{3}dx$

Funktion voisi integroida laskemalla kolmannen potenssin. Helpompi on kuitenkin järjestää sisäfunktion $2x+1$ derivaatta $2$ integraalin sisälle. Koska luvun ja sen käänteisluvun tulo on yksi, niin ${\frac {1}{n}}\cdot n=1$ eli ${\frac {1}{2}}\cdot 2=1$. Koska integraalifunktiossa saa vakion tuoda eteen, ${\frac {1}{2}}\int _{}^{}2\left(2x+1\right)^{3}dx$.

Integroidaan: ${\frac {1}{2}}\int _{}^{}2\left(2x+1\right)^{3}dx={\frac {1}{2}}{\frac {\left(2x+1\right)^{4}}{4}}+C={\frac {\left(2x+1\right)^{4}}{8}}+C$.

Osittaisintegroinnin kaava

17. $\int {{f}'(x)g(x)\,{\text{d}}x}=f(x)g(x)-\int {{g}'(x)f(x)\,{\text{d}}x}$

Kaava saadaan tulon derivoimissäännöstä: $D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ joten $\int (f'(x)g(x))dx+\int (f(x)g'(x))dx=f(x)g(x)$, joten $\int (f'(x)g(x))=f(x)g(x)-\int (f(x)g'(x))dx$.

Esimerkki: funktion $xe^{x}$ integrointi osittaisintegroinnin avulla:

Valitaan, että $f(x)=e^{x}$ ja $g(x)=x$. Tällöin $f'(x)=e^{x}$ ja $g'(x)=1$.

Osittaisintegroimalla saadaan $\int _{}^{}xe^{x}dx=xe^{x}-\int _{}^{}e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+C=\left(x-1\right)e^{x}+C$

Integrointi osamurtokehitelmän avulla

Esimerkki: funktion $f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}$ integrointi:

Jaetaan funktion nimittäjä tekijöihin. ${\frac {1}{x^{2}-1}}={\frac {1}{(x+1)(x-1)}}$.

Merkitään ${\frac {1}{(x+1)(x-1)}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x-1}}$. Ratkaistaan A ja B.

${\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x-1}}={\frac {A\cdot (x-1)}{x^{2}-1}}+{\frac {B\cdot (x+1)}{x^{2}-1}}={\frac {Ax-A+Bx+B}{x^{2}-1}}={\frac {(A+B)\cdot x+(-A+B)}{x^{2}-1}}$

Tällöin $A+B=0$ ja $-A+B=1$, joten $A=-{\frac {1}{2}}$ ja $B={\frac {1}{2}}$. Siis ${\frac {1}{(x+1)(x-1)}}=-{\frac {1}{2x+2}}+{\frac {1}{2x-2}}$. Lausekkeen voi nyt integroida kaavalla 13.

Määrätty integraali

Määrätyn integraalin avulla voidaan selvittää funktion kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala. Määrätyssä integraalissa on tärkeä tietää, onko alue x-akselin ylä- vai alapuolella, ja mitkä ovat funktion nollakohdat. Määrätty integraali a:sta b:hen merkitään $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$. Integraalin avulla voidaan laskea funktion $f(x)$ ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä $[a,b]$.

Määrätyn integraalin arvo lasketaan seuraavasti: $\int _{a}^{b}f(x)dx={\bigg /}_{\!\!\!\!\!a}^{b}F(x)=F(b)-F(a)$. Määrätyn integraalin laskemisessa ei tule käyttää integroimisvakiota.

Määrätyn integraalin avulla voidaan laskea myös kahden käyrän välinen pinta-ala tarkastelemalla niiden leikkauspisteitä sekä sitä, kumpi kuvaaja on ylempänä. Käyrän pyörähdyskappaleen x-akselin ympäri tilavuus välillä $[a,b]$ voidaan laskea kaavalla $V=\pi \int _{a}^{b}(f(x))^{2}dx$. Yleisesti kappaleen tilavuus välillä $[a,b]$ voidaan integroida kaavalla $V(x)=\int _{a}^{b}A(x)dx$ missä funktio $A(x)$ kuvaa kappaleen poikkileikkauksen pinta-alaa.

Esimerkki: Määritä käyrien $x^{2}$ ja $x+2$ väliin jäävän äärellisen alueen pinta-ala.

Ratkaisu: Selvitetään käyrien leikkauskohdat.

$x^{2}=x+2$ joten $x^{2}-x-2=0$ joten $x=-1\vee x=2$.

Testikohta $x=0$: tällöin $x+2>x^{2}$. Koska välillä ei ole leikkauskohtia, $x+2>x^{2}$ koko välillä $[-1,2]$. Lisäksi molemmat käyrät ovat x-akselin yläpuolella, sillä $x^{2}$ on aina epänegatiivinen, ja $x+2>x^{2}$ tarkasteluvälillä.

Siis alueen pinta-ala on:

$A=\int _{-1}^{2}\left(x+2\right)dx-\int _{-1}^{2}x^{2}dx={\bigg /}_{\!\!\!\!\!{-1}}^{2}\left({\frac {1}{2}}x^{2}+2x\right)-{\bigg /}_{\!\!\!\!\!{-1}}^{2}\left({\frac {1}{3}}x^{3}\right)$ Molemmat käyrät voidaan merkitä myös saman integraalimerkin alle.

$={\frac {1}{2}}\cdot 2^{2}+2\cdot 2-\left({\frac {1}{2}}\cdot \left(-1\right)^{2}+2\cdot \left(-1\right)\right)-\left({\frac {1}{3}}\cdot 2^{3}-\left({\frac {1}{3}}\cdot \left(-1\right)^{3}\right)\right)$

$=2+4-\left({\frac {1}{2}}-2\right)-\left({\frac {8}{3}}-\left(-{\frac {1}{3}}\right)\right)=6+{\frac {3}{2}}-3={\frac {9}{2}}$

Integroimiskaavoja määrätylle integraalille

18. $\int _{a}^{a}f(x)dx=0$
19. $\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{b}^{c}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx$
20. $\int _{a}^{b}f(x)dx=-\int _{b}^{a}f(x)dx$