Geometria

Geometria on matematiikan ala, joka tutkii kuvioita ja kappaleita sekä niiden ominaisuuksia.

Geometrian peruskäsitteitä ovat mm. piste, suora, taso, avaruus, ympyrä, ellipsi, kolmio, neliö, pallo, sylinteri, kartio, säännöllinen monitahokas, käyrä, pinta, kappale, kulma, pituus, pinta-ala ja tilavuus.

Geometria voidaan jakaa esim. seuraavasti tutkittujen kohteiden ja käytettyjen menetelmien perusteella:

• Tasogeometria - kaksiulotteinen geometria
• Avaruusgeometria - kolmiulotteinen geometria
• Euklidinen geometria - tutkii ilmiöitä esim. xy-tasossa tai xyz-avaruudessa
• Epäeuklidinen geometria - tutkii esim. geometriaa pallon pinnalla
• Analyyttinen geometria - koordinaatistoon sijoitettujen kuvioiden ja kappaleiden analysointia yhtälöiden ja epäyhtälöiden avulla
• Trigonometriasta on apua monien geometristen ongelmien numeeriseen ratkaisemiseen.

Koordinaatisto

Koordinaatisto on geometrinen järjestelmä alueen kuvaamiseen ja sen mittasuhteiden, sijaintien tms. ilmoittamiseen.

Koordinaatistossa pisteitä on sijoitettu avaruuteen ja pisteille on annettu koordinaatit niiden paikantamista varten. Koordinaatit voivat olla joko positiivisia tai negatiivisia.

Pisteillä on yhtä monta koordinaattia kuin koordinaatistossa on ulottuvuuksia. Ulottuvuuksien ja niitä vastaavien koordinaattien niminä on useimmiten x, y ja z.

Suorakulmainen koordinaatisto

Yleisimmin koordinaatistolla käsitetään, etenkin matematiikassa, suorakulmaista eli karteesista koordinaatistoa. Suorakulmaisessa koordinaatistossa on ulottuvuuksien mukainen määrä akseleita, jotka on nimetty kuvaamansa ulottuvuuden mukaan. Akselit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, ja ne kulkevat koordinaatiston nollapisteen eli origon kautta sekä leikkaavat toisensa siinä.

Koordinaatistolle on annettu myös mittayksikkö, ja niinpä kunkin pisteen koordinaatit ilmoittavat matkan, joka kutakin akselia tulee kulkea, jotta päästäisiin merkittyyn pisteeseen.

Kun koordinaatistolla kuvataan tasoa, käytetään kahta akselia: vaakasuunnan kuvaamiseen x-akselia ja pystysuunnalle y-akselia. Kolmiulotteisessa avaruudessa tarvitaan puolestaan kolme akselia: x-, y- ja z-akselit.

Koordinaatit ilmoitetaan merkitsemällä ne sulkeisiin ja erottamalla kunkin ulottuvuuden koordinaattiluku pilkulla, esim. (2, -3). Jos koordinaatit sisältävät desimaalipilkkuja, ne erotetaan toisistaan puolipisteellä, esim. (4,5; 2,25; -6,8).

Napakoordinaatisto

Napakoordinaatistossa koordinaatit esitetään kiertokulman φ ja säteen r funktiona. Muunnoskaavat karteesisen ja napakoordinaatiston välillä ovat

${\begin{matrix}x=r\cdot \cos {\phi }\\y=r\cdot \sin {\phi }.\end{matrix}}$

Sylinterikoordinaatisto

Sylinterikoordinaatisto on kolmiulotteinen koordinaatisto, jossa x- ja y-tasossa käytetään napakoordinaatistoa ja sen lisäksi z-suunnassa karteesista z-koordinaattia. Koordinaatin muodostaa siis kolmikko (φ,r,z).

Pallokoordinaatisto

Pallokoordinaatisto on sylinterikoordinaatiston tapaan kolmiulotteisen avaruuden koordinaatisto. Siinä pisteiden ajatellaan sijaitsevan pallopinnalla. Koordinaatit määrittävät säde r, atsimuuttikulma φ sekä korotus- eli elevaatiokulma θ. Korotuskulma on tavallisesti rajattu välille $-\pi /2<\theta <\pi /2$ yksikäsitteisyyden saavuttamiseksi. Muunnoskaavat karteesiseen koordinaatistoon ovat

${\begin{matrix}x=r\cdot \cos {\phi }\cdot \cos {\theta }\\y=r\cdot \sin {\phi }\cdot \cos {\theta }\\z=r\cdot \sin {\theta }.\end{matrix}}$

Origo

Origo on suorakulmaisen koordinaatiston nollapiste, jossa kaikkien koordinaattien arvo on nolla ja koordinaatistoakselit leikkaavat toisensa.

Yhtälö

Yhtälö on kahden lausekkeen merkitty yhtäsuuruus. Yhtä suuriksi merkityt lausekkeet eivät suinkaan välttämättä ole täsmällisesti toistensa vastineita, vaan yhtälöstä pyritään selvittämään, millä muuttujien arvoilla lausekkeiden arvot ovat samat. Aina muuttujille ei ole saatavissa lukuarvoa, vaan niille saadaan jonkinlainen lauseke, jolloin vastaus riippuu muista yhtälön muuttujista. Kun muuttujia on vain yksi, sitä merkitään yleensä kirjaimella x (fysiikan sovelluksissa käytetään ratkaistavan suureen symbolia).

Yhtä suuriksi merkityille lausekkeille saa teoriassa tehdä lähes mitä tahansa yhteisiä laskuoperaatioita. Yhtälöstä saadaan oikeat ratkaisut tehdyistä operaatioista riippumatta. Näitä operaatioita voivat olla esim. yhteen-, vähennyslasku sekä kerto- ja jakolasku nollasta poikkeavalla luvulla.

Yhtälössä toimivat muuttujina vaaka-akseli x, jolloin se antaa arvon pystyakselille y, tai toisinpäin.

Trigonometria

Trigonometriaksi kutsutaan suorakulmaisia kolmioita ja sen kulmia käsittelevää matematiikan alaa. Siihen kuuluvat olennaisesti trigonometriset funktiot, joista tärkeimmät ovat sini, kosini ja tangentti. Muita ovat sekantti, kosekantti ja kotangentti. Trigonometriassa suorakulmaa vastapäätä olevaa sivua kutsutaan hypotenuusaksi ja suorakulman viereisiä sivuja kateeteiksi. Trigonometristen funktioiden, sinilauseen ja kosinilauseen avulla voidaan vastata kaikkiin kolmion sivuja ja kulmia koskeviin kysymyksiin.

Geometriassa kolmio voidaan piirtää käyttäen apuna koordinaatistoa. Suorakulmainen kolmio voidaan piirtää kahden koordinaatistoon sijoitetun pisteen avulla.