Lukion taulukot/Todennäköisyysjakaumia

[muokkaa]

Diskreetti jakauma

Satunnaismuuttujan ${\underline {x}}$ arvoina ovat luvut $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ (joita voi olla myös ääretön määrä). Näillä on ei-negatiiviset todennäköisyydet $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$ siten, että

$\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}=1$.

Satunnaismuuttujan ${\underline {x}}$ keskiarvo eli odotusarvo

$\mu =E{\underline {x}}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}$

ja keskihajonta

$\sigma =D{\underline {x}}={\sqrt {\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}$;  σ² on varianssi

Binomitodennäköisyys

Jos tietty satunnaiskoe toistetaan n kertaa ja tapauksen A todennäköisyys kullakin kerralla on p, niin todennäköisyys sille, että tapaus A sattuu täsmälleen k kertaa

$P(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$, missä $q=1-p$.

Binomitodennäköisyyden odotusarvo ja keskihajonta

$\mu =np$ ja $\sigma ={\sqrt {npq}}$

Jatkuva jakauma

Jatkuvan satunnaismuuttujan ${\underline {x}}$ tiheysfunktio f on ei-negatiivinen funktio, jolle

$\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x=1$.

Tapauksen $a\leq {\underline {x}}\leq b$ todennäköisyys

$P(a\leq {\underline {x}}\leq b)=\textstyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

Kertymäfunktion $F(x)=P({\underline {x}}\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(u)\mathrm {d} u$ avulla lausuttuna $P(a\leq {\underline {x}}\leq b)=F(b)-F(a)$.

Satunnaismuuttujan ${\underline {x}}$ keskiarvo eli ${\begin{alignedat}{2}\mathbf {odotusarvo} \,\mu &=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)x\,\mathrm {d} x\\\end{alignedat}}$ ja

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {varianssi} \,\sigma ^{2}&=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,\mathrm {d} x\end{alignedat}}$

Normaalijakauma

Normitetun normaalijakauman keskiarvo on 0 ja keskihajonta 1. Sen kertymäfunktio $\Phi$ on tiheysfunktion φ integraalifunktio.

Olkoon normaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan ${\underline {x}}$ keskiarvo μ ja keskihajonta σ. Tapauksen $a\leq x\leq b$ todennäköisyys lasketaan kertymäfunktion avulla seuraavasti:

$P(a\leq {\underline {x}}\leq b)=P\left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\leq {\underline {z}}\leq {\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)=\Phi \left({\frac {b-\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {a-\mu }{\sigma }}\right)$