Matematiikka/Geometristen muotojen mitat

Tämä kappale käsittelee erilaisten taso- ja avaruusgeometristen muotojen mittoja.

Neliö

Neliön pinta-ala voidaan laskea kaavalla $A=a^{2}$, jossa a on neliön sivun pituus. Piiri lasketaan kaavalla $p=4a$. Neliössä on neljä yhtä pitkää sivua ja neljä suoraa kulmaa. Neliön lävistäjä voidaan saada Pythagoraan lauseella, josta saadaan ${\sqrt {2}}a$.

Suorakulmio

Suorakulmion pinta-ala voidaan laskea kertomalla kanta ja korkeus keskenään: $A=ab$. Piiri voidaan laskea kaavalla $A=2a+2b$, ja lävistäjä saadaan Pythagoraan lauseella: ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Suunnikkaan pinta-ala voidaan laskea samalla kaavalla.

Ympyrä

Ympyrän pinta-ala lasketaan kaavalla $A=\pi r^{2}$ ja piiri kaavalla $p=2\pi r=\pi d$.

Ympyrän sektorin piiri ja ala saadaan kertomalla kyseinen kaava sektorin keskuskulman suhteella täyskulman suuruuteen: $A_{s}={\frac {\alpha }{360^{\circ }}}\cdot \pi r^{2}$. Ympyrän sektorin keskuskulma on ympyrän keskipisteessä.

Segmentin pinta-ala voidaan puolestaan laskea vähentämällä sektorin alasta muodostuvan kolmion ala, jos keskuskulma on alle oikokulman; muuten sektorin alaan tulee lisätä muodostuva kolmio.

Kolmio

Kolmion pinta-ala voidaan laskea kertomalla kanta ja korkeus ja puolittamalla se: $A={\frac {ab}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot ab$. Kolmion ala voidaan laskea myös kaavalla $A={\frac {1}{2}}\cdot ac\cdot sin\beta$, jossa kulma $\beta$ jää sivujen a ja c väliin; kulmaa $\beta$ vastaa sivu b.

Lisäksi suorakulmaiselle kolmiolle pätee Pythagoraan lause $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (a ja b kateetteja, c hypotenuusa) Kaikille kolmioille pätee myös sinilause ${\frac {a}{sin\alpha }}={\frac {b}{sin\beta }}={\frac {c}{sin\gamma }}$ ja kosinilause eli laajennettu Pythagoraan lause $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\alpha$. Myös trigonometriset funktiot sini, kosini ja tangentti, pätevät kolmioihin.

Suorakulmainen särmiö

Kuution, suorakulmaisen särmiön erikoistapauksen, tilavuuden voi laskea kaavalla $V=a^{3}$. Suorakulmaisen särmiön tilavuuden yleensä voi laskea kertomalla kaikki sivut keskenään.

Lieriö ja kartio

Lieriön tilavuuden voi laskea kertomalla pohjan alan korkeudella: $V=A_{p}\cdot h$. Kartiossa kaava pitää jakaa kolmella: $V={\frac {1}{3}}\cdot A_{p}\cdot h={\frac {A_{p}\cdot h}{3}}$.

Suoran ympyrälieriön vaipan pohjasivu on kyseisen lieriön pohjaympyrän kehä ja pystysivu on lieriön korkeus. Siis suoran ympyrälieriön vaipan ala on $A_{v}=2\pi rh=\pi dh$.

Suoran ympyräkartion vaipan alan voi laskea kaavalla $A_{v}=\pi rs$, missä s on sivujana. Sivujanan voi laskea Pythagoraan lauseella.

Pallo

Pallolle pätee kaavat $A=4\pi {{r}^{2}}$ ja $V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$.