Matematiikka/Luvut

Luvut ovat abstrakteja käsitteitä, jotka mittaavat mm. suuruutta sekä järjestystä. Lukumäärää ilmaisevia lukuja sanotaan kardinaaliluvuiksi, järjestystä ilmaisevia lukuja puolestaan kutsutaan järjestysluvuiksi eli ordinaaliluvuiksi. Luvut koostuvat yleensä numeroista. Tapaa, jolla numeroista koostetaan lukuja, kutsutaan lukujärjestelmäksi.

Matemaattisessa mielessä luvut ovat joidenkin matemaattisten avaruuksien alkioita ja niiden muodostaminen on riippuvainen järjestelmäkohtaisista sopimuksista. Käytössä on erilaisia lukuavaruuksia, kuten reaaliluvut, rationaaliluvut, irrationaaliluvut, kokonaisluvut sekä luonnolliset luvut.

Länsimaissa käytetään yleisesti ns. arabialaisia numeroita järjestelmässä, jonka kantaluku on 10. Tässä järjestelmässä luvut muodostetaan numeroista 0-9 sekä desimaalierottimesta, joka on maasta riippuen yleensä pilkku tai piste. Lukuun peräkkäin kirjoitetuista numeroista oikeanpuoleisin on vähiten merkitsevä ja merkitys kasvaa vasemmalle mennessä kantaluvun verran. Eli esim. 123 tarkoittaa samaa kuin 3 + 2*10 + 1*100 ( =3*10^0 + 2*10^1 + 1*10^2 ). Vastaavasti desimaalierottimen oikealla puolella olevat numerot ilmaisevat luvun osia. Desimaalierotinta ei aina merkitä näkyviin.

On myös muita tapoja merkitä luvun osia. Näistä esimerkkinä murtoluvut. Kokonaisluvut ja luvun osat murtolukuina voidaan merkitä myös samaan lukuun peräkkäin ilman yhteenlaskuoperaattoria.

Luonnolliset luvut

Luonnollisten lukujen joukkoon $\mathbb {N}$ määritellään kuuluvaksi joko positiiviset $\{1,2,3,\dots \}$ tai ei-negatiiviset $\{0,1,2,\dots \}$ kokonaisluvut. Se, kuuluuko nolla luonnollisiin lukuihin riippuu siitä, miten joukko määritellään. Luonnolliset luvut ovat helppoutensa vuoksi ensimmäiset lapsille opetettavat luvut. Luonnollisilla luvuilla on kaksi päätarkoitusta: niitä voidaan käyttää laskemiseen ("pöydällä on kolme omenaa") tai niillä voidaan ilmaista järjestystä. Lukuteoria tutkii luonnollisten lukujen syvällisempiä ominaisuuksia, kuten alkulukujen jakaumaa.

Luonnollisten lukujen ominaisuuksia

Olkoot $a,b,c\in \mathbb {N}$ . Tällöin

$a+(b+c)=(a+b)+c$
$a+b=b+a$
$a(bc)=(ab)c$
$ab=ba$
$\exists 0\in \mathbb {N}$ siten, että $a+0=0+a=a$
$\exists 1\in \mathbb {N}$ siten, että $a1=1a=a$
$a(b+c)=ab+ac$
$a<b\vee a=b\vee b<a$
$a<b\wedge b<c\Rightarrow a<c.$