Matematiikka/Matemaattisia ongelmia

Kohteesta Wikikirjasto
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Tämä sivu sisältää matemaattisia ongelma. Sivulta Ohje:TeX-opas saat apua kaavoihin.

Tehtäviä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(puuttuvia tehtäviä voi lisätä)

Tehtävä 1.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritä kaikki ei-negatiiviset kokonaislukunelikot joille pätee (lukuteoria, helpohko) (VP, tosin plagioitu)

Tehtävä 2.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritä kaikki alkuluvut p, joiden kymmenjärjestelmäesityksestä voidaan poistaa vapaavalintaiset numerot (jättäen ainakin yhden jäljelle) niin, että jäljelle jäävä luku on myös alkuluku. (Esimerkiksi 13 -> 3 tai 239 -> 29, 23 tai 3) (lukuteoria)

Tehtävä 3.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todista, ettei ole olemassa sellaista joidenkin kolmen peräkkäisen positiivisen kokonaisluvun summaa, joka voitaisiin esittää myös joidenkin kolmen peräkkäisen positiivisen kokonaisluvun neliöiden summana. (lukuteoria, varsin helppo)(VP)

Tehtävä 4.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon n mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Voidaanko Fibonaccin lukujonosta löytää luku, joka on jaollinen n:llä? (lukuteoria, helpohko)

Tehtävä 5.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todista, että kaikilla alkuluvuilla p. (lukuteoria, helpohko)

Tehtävä 6.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaise välillä [-2,2] ryhmä

Tehtävä 7.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todista, että jos positiivisella kokonaisluvulla n on pariton alkulukutekijä, niin on olemassa joukon permutaatio siten, että pätee yhtälö .(algebra/kombinatoriikka, haastavahko) (LA)

31.8.2004 Lisää tehtäviä (LA):[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehtävä 8.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon ABCD jännenelikulmio, jonka lävistäjien leikkauspiste on O. (Jokin) pisteiden D ja O kautta kulkeva ympyrä leikkaa janat AD ja CD pisteissä M ja N. Suorat OM ja BA leikkaavat pisteessä R, ja suorat ON ja CB leikkaavat pisteessä T. Lisäksi R ja T ovat samalla puolella suoraa BD kuin A.
Osoita, että O, R, T ja B ovat saman ympyrän kehällä.
(geometria, sopii suomalaisellekin)

Tehtävä 9.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon ABCD konveksi ympyrän ympärille piirretty nelikulmio. Puolisuorat AB ja DC leikkaavat pisteessä E, ja samoin puolisuorat DA ja CB leikkaavat pisteessä F. (Siis esimerkiksi piste B on janalla AE, mutta A ei ole janalla BE.) Olkoot X, Y ja Z tässä järjestyksessä kolmioiden AFB, BEC ja ABC sisään piirrettyjen ympyröiden keskipisteet. Suora XZ leikkaa suorat EA ja ED pisteissä K ja L, tässä järjestyksessä, ja edelleen suora YZ leikkaa suorat FC ja FD pisteissä M ja N.

Osoita, että jos ja vain jos

(geometria, vaativa mutta mahdolinen)

Tehtävä 10.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoot a, b ja c välin [-1,1] lukuja ja x,y,z välin [0,1) lukuja. Etsi seuraavan lausekkeen suurin mahdollinen arvo:
(algebra, varsin helppo)

Tehtävä 11.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritellään . Laske summa .

(algebra, aika helppo)

Tehtävä 12.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sovitaan merkinnästä = kymmenjärjestelmän luku, jossa luvun a perään on kirjoitettu luvun b numerot. Määritellään sitten lukujono ; . Osoita, että näin määritelty lukujono suppenee. Onko raja-arvo rationaalinen?

(Huom. lukujono suppenee kohti raja-arvoa A, jos ja vain jos jokaisella positiivisella reaaliluvulla b on olemassa kokonaisluku N siten, että aina kun n>N, )

(monelta osa-alueelta, kuitenkin aika helppo)

Tehtävä 13.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

On annettuna alkuluku p. Funktio f on määritelty kaikilla kokonaisluvuilla ja se saa vain kokonaislukuarvoja. Lisäksi tiedetään, että kaikilla ja että kaikilla m,n. Määritä mahdolliset f:t.

(lukuteoria, ratkeava)

28.9. (LA)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehtävä 14.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(2 osakysymystä) Tarkastellaan laatikkoa, jossa voi olla sinisiä palloja S, punaisia palloja P ja valkoisia palloja V. Palloja muutetaan toisiksi seuraavien operaatioiden avulla:
P+P -> V
S+S -> V
V+V -> S+P
S+V -> P
P+V -> S
Alkutilanteessa laatikossa on 2000 valkoista palloa V, muunvärisiä ei lainkaan. Äärellisen monen operaation jälkeen laatikossa on kolme palloa - osoita, että tasan yksi niistä on valkoinen. Selvitä lisäksi, voidaanko alkutilanteesta päästä tilanteeseen, jossa laatikossa on vain yksi pallo jäljellä.

(kombinatoriikka)


Tehtävä 15.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pelaaja A yrittää selvittää kokonaislukua X, 0<X<101. A saa vuorollaan valita mitkä tahansa kokonaisluvut M ja N, joille 0<M<101 ja 0<N<101. Tämän jälkeen A:lle annetaan luku syt(N, X+M).
Osoita, että A voi selvittää X:n seitsemän kysymyksen jälkeen.
Jos intoa riittää, osoita, että A voi selvittää X:n jo kuuden kysymyksen jälkeen silläkin lisärajoituksella, että M ja N ovat alle 85. (Tämäkään ei ole vielä aivan rajatapaus.)

(kombinatoriikka)


8.11. (LA)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehtävä 16. Tasossa on annettu suorakulmio S, joka on jaettu pienempiin suorakulmioihin. Tiedetään, että jokaisen pienen suorakulmion jokin sivu on kokonaisluvun pituinen. Osoita, että S:n jokin sivu on kokonaisluvun pituinen.

(kombinatoriikka; tähän on aika häijy malliratkaisu)

16.11.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(TT) Tehtävä 17. Todista, että .

30.12. (LA)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehtävä 18.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ympyrän pinta-ala on ja pallon tilavuus . Määritä n-ulotteisen R-säteisen "pallon" n-ulotteinen mitta.

Tehtävä 19.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon annettuna n kokonaislukua , joiden neliösumma S on positiivinen. Tarkastellaan n:n ulottuvuuden tasojen (hypertasojen) joukkoa J, joka toteuttaa seuraavat ehdot:

a) J:n tasot ovat vektoria vastaan kohtisuorassa.

b) kaikki J:n tasot sisältävät äärettömän monta n-ulotteisen avaruuden kokonaislukukoordinaattista pistettä.

Määritä J:n tasojen lyhin mahdollinen etäisyys toisistaan (tavanomaisella euklidisella normilla mitattuna).

17.2. (TT)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehtävä 20.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Monta kokonaislukuratkaisua on yhtälöillä , joissa N on positiivinen kokokonaisluku.

15.3. (VP)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehtävä 21.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todista, ettei ole neliöluku millään positiivisella kokonaisluvulla x.

1.4. (JS)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehtävä 22.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon annettu mxn-shakkilauta, jonka ruudun sivun pituus on 1. Siveltimellä, jonka leveys on 1, maalataan shakkilaudalle viiva siten että siveltimen keskikohta on aina laudan lävistäjän päällä ja sivellin on koko ajan kohtisuorassa lävistäjää vastaan. Laske kuinka monen ruudun kautta viiva kulkee.

17.7. (LA)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehtävä 23.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

17.7. (LA) Pallon pinnalla on n pistettä . Olkoon G näiden pisteiden painopiste, ja pallon ja suoran toinen leikkauspiste, . Todista epäyhtälöt ja .


17.7. (LA)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehtävä 24.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Reaaliluvut a,b,c,x,y ja z ovat epänegatiivisia, ja . Todista epäyhtälö .

24.7. (JS)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehtävä 25.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmion ABC ala on 1. Valitaan sivuilta AB, BC, AC pisteet F, D, E, tässä järjestyksessä, siten että AF/BF=r, BD/CD=s, CE/AE=t. Olkoon janojen AD ja BE leikkauspiste G, AD:n ja CF:n leikkauspiste I, BE:n ja CF:n leikkauspiste H. Osoita että kolmion GHI ala on

Ratkaisuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(puuttuvia kohtia voi täyttää)

1.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Kun n=0, yhtälö toteutuu
  • Kun n=1, , joille yhtälö toteutuisi
  • Kun n=2,
  • Kun n>2,
jos a=b, niin eli .

.

jos a<b, niin eli .

Siispä ainoat ratkaisut ovat (a, b, c, 0) ja (a+1, a+1, a, 2)

2.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehtävän ehdot täyttävän alkuluvun numeroiden täytyy olla alkulukuja. Näin ollen luvussa saa esiintyä numerot 2,3,5 ja 7. Numerot 2 ja 5 saavat olla vain ensimmäisenä, koska muuten saataisiin kahdella tai viidellä jaollinen luku numeroita poistamalla. Yksinumeroiset luvut ovat 2,3,5 ja 7 ja kaksinumeroiset 23, 37, 53, 73. Luvussa ei saa olla kahta samaa numeroa peräkkäin, koska tällöin syntyisi 11 jaollinen osa.Kolminumeroiset kandidaatit ovat siis 237, 373, 537 ja 737. Vain 373 on alkuluku. Nelinumeroinen 3737 = 37*101, joten tehtävässä kysytyt luvut ovat {2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 373}.

3.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(n - 1) + n + (n + 1) = 3n = 0 mod 3 , mutta = 2 mod 3.

4. (VP)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Voidaan, itse asiassa äärettömän monta. Tarkastellaan Fibonaccin lukujonoa modulo n (eli jonon jäsenten jakojäännöksiä jaettaessa n:llä). Selvästikin jonon on oltava jostain indeksistä lähtien jaksollinen, sillä jonon jokaisen jäsenen arvo riippuu vain kahden edellisen jäsenen arvosta, jotka taas voivat kumpikin saada enintään n eri arvoa (0,1,2,..,n-1). Jakson pituus . Nyt itse asiassa ko. jonon on oltava jaksollinen jokaisella kokonaislukuindeksillä "molempiin suuntiin", sillä jonon edellinen jäsen voidaan laskea yksikäsitteisesti kahdesta seuraavasta. Nyt siis (mod n), joten jollain pätee (mod n), eli kaikilla .

5.(VP)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Selvästi/tunnetusti (2p yli p) = . p on alkuluku, joten (1 < k < p) , ja , joten (mod )

6.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä on vain yksi ratkaisu, muitakin voi ehkä olla.<br\> Normeerataan kaikki muuttujat jakamalla ne samalla vakiolla 2. Viimeisen yhtälön oikea puoli on tällöin . Valitaan uusiksi muuttujiksi kompleksisten yksikköjuurten reaaliosat. Enemmän tai vähemmän tunnetusti näiden muuttujien summa on geometrisen summan reaaliosa 0.

Potenssisummia voidaan muokata kirjoittamalla , käyttämällä binomikaavaa ja havaitsemalla (vrt. ).

Koska , saadaan viidennen asteen kompleksisten yksikköjuurten kuutioiden (geometriseksi) summaksi 0, ja toisaalta tämän summan reaaliosalle saadaan auki kirjoittamalla . Myös toinen yhtälö toteutuu. Vääntämällä lisää saadaan viidensien potenssien summan reaaliosaksi , joka on toisaalta . Siis viimeinenkin yhtälö toteutuu.

Alkuperäisen yhtälön ratkaisuksi kelpaavat siis luvut , missä juuret ovat eri kompleksijuuria.

(JS) Olkoon a=2 cos x. Tällöin 2 cos 5x =a5-5a3+5a, jolloin Siis cos 5x=cos 5y=...=10, eli . Mutta , joten Koska , on yksi luvuista 2, kaksi luvuista ja muut yhtäsuuria kuin . Nyt on helppo varmistaa, että myös .

7. (TT)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska säännöllisen monikulmion kärkivektoreiden summan keskiarvo on keskipiste, saadaan . Toisaalta . Todistetaan väite aluksi parittomilla luvuilla n. Alun nojalla riittää löytää joukon {1,2, ... ,n} luku a niin, että loput luvut voidaan jakaa pareihin, joissa kussakin lukujen summa on 2a. Tämä onnistuu, kun valitaan a = (n+1)/2 ja muodostetaan parit {1,n}, {2,n+1}, ..., {a-1,a+1}. On vielä todistettava, että väite on voimassa, kun n = 2^t * p, jossa p on pariton ja t > 0. Tehdään tämä induktiolla eksponentin t suhteen. Tapauksessa t=1 voidaan joukko {1,2,...,n} jakaa osiin {2,4,...,n} ja {1,3,...,n-1}. Koska väite on totta luvulle p, voidaan osa {2,4,...,n} hoitaa joukon {1,2,...,p} permutaatiolla. Koska joukon {1,3,...,n-1} synnyttämä monikulmio on p-kulmion peilikuva y-akselin suhteen, jää jäljelle löytää joukon {p+1,p+2,...,n} alkio a niin, että edellä esitetty jako pareihin voidaan toteuttaa. Valitaan a = (n+p+1)/2 ja muodostetaan parit {p+1,n}, {p+2,n-1}, ..., {a-1,a+1}. Tällöin (p+1+i) + (n-i) = p+n+1 = 2a.

Oletetaan, että väite pätee arvolla t ja todistetaan se arvolla t+1. Jaetaan joukko {1,2,...,n} taas osiin

{1,3,...,n-1} ja {2,4,...,n}. Nyt joukon {2,4,...,n} muodostama monikulmio vastaa 2^t * p -kulmiota ja induktio-oletuksen nojalla se voidaan hoitaa joukon {1,2,...,2^t*p} permutaatiolla. Joukon {1,3,...,n-1} muodostama monikulmio on symmetrinen x-akselin suhteen eikä yksikään pisteistä ole x-akselilla. Riittää löytää joukon {2^t *p + 1,...,n} jako pareihin niin, että kussakin parissa on sama lukujen summa. Tämä on helppoa. Valitaan vain ensimmäinen ja viimeinen, toinen ja toiseksi viimeinen jne.

8. (VP)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(Tässä yhteydessä ABC = kulma ABC) Kehäkulmalauseesta saadaan R, T, B, O samalla ympyrällä, mot..

9.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kulma EKL on suora, joten ehto EK=EL on mahdoton.

10.(VP)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jakamalla lauseke "riippumattomiin" osiin voidaan havaita, että lauseke saa suurimman arvonsa, kun kukin yksittäinen osa saa suurimman arvonsa. Selvästikin yksittäisten osien suurin mahdollinen arvo on , joten koko lausekkeen suurin mahdollinen arvo on

11.(VP)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Selvästi <br\>

12. (TT)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska lukujono on kasvava ja selvästi ylhäältä rajoitettu, on raja-arvo olemassa. Oletetaan, että raja-arvo A on rationaalinen ja sen jakso on k. Luvussa A on mielivaltaisen pitkiä peräkkäisistä nollista koostuvia osuuksia, joten on oltava k = 0. Tämä on kuitenkin mahdotonta, koska A on päättymätön. A on siis irrationaalinen.

13. (TT)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Koska f(0) * f(0) = f(0), saadaan f(0) = 0 tai 1. Jos f(0) = 1, niin f(x) = f(x)*1 = f(x)*f(0) = f(x*0) = f(0) = 1 kaikilla x. Vastaavasti f(1)*f(1) = f(1), joten f(1) = 0 tai 1. Jos f(1) = 0, niin f(x) = f(x*1) = f(x)*f(1) = 0. Todetaan, että identtiset kuvaukset f = 0 ja f = 1 antavat ratkaisun. Voidaan olettaa f(0) = 0 ja f(1) = 1. Arvolla p = 2 saadaan ratkaisu f(x) = 0 parillisilla ja 1 parittomilla x. Tästä lähtien voidaan olettaa, että p on pariton. Jos p jakaa luvun x, niin f(x) = 0. Muussa tapauksessa syt(x,p) = 1 ja Fermat'n pienen lauseen nojalla . Täten eli . Voidaan todistaa, että on syklinen ryhmä kertolaskun suhteen, joten sillä on virittäjä g. Tällöin f(g) = -1 tai 1. Jos f(g) = 1, niin f(x) = 1 kaikilla x ,joille syt(x,p) = 1. Todetaan, että tämä funktio täyttää tehtävän ehdot. Jos f(g) = -1, niin f(x) on 1 kaikilla neliöjäännöksillä ja -1 muilla (syt(x,p) = 1). Saadaan

, jossa on Legendren symboli. Ominaisuuksista (x+kp/p) = (x/p) ja (xy/p) = (x/p)(y/p) seuraa, että kyseinen funktio toteuttaa tehtävän ehdot.

14. (JS)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Liitetään valkoisiin palloihin arvo -1, punaisiin palloihin arvo i ja sinisiin -i. Nyt pallojen arvojen tulo pysyy vakiona pallojen vaihdon yhteydessä. Lähtötilanteessa arvo on .

Edelleen sinisten ja punaisten pallojen lukumäärä on invariantti modulo 2. Jos palloja on 3, niin on oltava 0 punaista ja sinistä palloa, jolloin valkoisia on kolme tai kaksi punaista ja sinistä, jolloin valkoisia on yksi. Edellinen tapaus on kuitenkin mahdoton, koska muutoin pallojen tulo olisi -1. Toinen kysymys seuraa siitä, että yksittäisen pallon arvo ei ole 1.

15. (VP)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(seuraavassa x modulo n tarkoittaa lukua 1<= c <=n, joka on kongruentti x kanssa modulo n) Tehtävä onnistuu itse asiassa 5 kysymyksellä. Ensimmäiset 4 kysymystä tapahtuvat luvuilla M = 60 = 2*2*3*5, ja N = 1,2,3, ja 4. Näillä 4 kysymyksellä saa selvitettyä arvot x modulo 4, x modulo 3 ja x modulo 5, sillä x = k (modulo c) <-> x +(-k) = 0 (modulo c) -> c jakaa syt(x+(-k), c). 4,3,5 ovat pareittain keskenään jaottomia, joten itse asiassa 3 em. modulon perusteella voidaan laskea yksikäsitteisesti x modulo 60 (kiinalainen jakojäännöslause). Jos x modulo 60 > 40, niin on oltava x = (x modulo 60). Jos taas x modulo 60 <=40, niin x:llä on vain 2 vaihtoehtoa ((x modulo 60) tai (x modulo 60) + 60), joista x:n saa selvitettyä 1 kysymyksellä esim. tarkistamalla vastaako x modulo 7 ensimmäisen vaihtoehdon vastaavaa em. kuvatulla tavalla. Yhteensä siis enintään 4+1 = 5 kysymystä.

16.[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(JS) Huomataan, että jos ja vain jos ainakin toinen luvuista a-b ja a+b on kokonaisluku. Nyt kaikilla suorakulmioilla T joiden vasen alakulma on (0,0) ja joiden sivut koordinaattiakseleiden suuntaiset, on joss vähintään yksi T:n sivuista on kokonaislukupituinen. Ensimmäisen integraalin perusteella integraali häviää kaikilla pienillä suorakulmioilla, joten Fubinin lauseen perusteella se häviää myös isommassa suorakulmiossa.

17[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

17 http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=40150

Todistetaan ensiksi seuraava Vandermonden identiteetti:

Lemma: .

Tod. ja väite seuraa sarjakehitelmien kertomista.

Tällöin siis . Nyt saadaan

Koska

Tämä sievenee muotoon

Vastaavasti

Binomikertoimen määritelmän perusteella on voimassa

Siten identiteetti tulee muotoon

joka sievenee edelleen lausekkeeksi

Kertomalla molemmat puolet luvulla , saadaan


18. (JS)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

farmingdale.edu/~cosciadr/Volume.pdf

19. (VP)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suuntavektori on "kokonaislukuvektori", joten melko selvästi mikäli jollain J:n 'hypertasolla' (tästedes 'taso') on ainakin 1 kokonaislukukoordinaattinen piste, on sillä niitä äärettömän monta (1). Nyt pienin mahdollinen etäisyys J:n kahden tason välillä on symmetriasyistä sama, kuin esim. pienin mahdollinen etäisyys origon kautta kulkevan J:n tason (tästedes K) ja muiden J:n tasojen välillä. Koska J:n kaikki tasot ovat samansuuntaisia, on J:n jokaisen tason etäisyys K:stä sama kuin saman tason minkä tahansa pisteen kohtisuora etäisyys K:sta, ja erityisesti jokaisen/(minkä tahansa) kokonaislukukoordinaattisen pisteen. Jokaisella J:n tasolla on ainakin yksi kokonaislukukoordinaattinen piste, ja jokaista kokonaislukukoordinaattista pistettä vastaa ainakin yksi sellainen taso J:ssä, johon se kuuluu (seuraus kohdasta (1)), joten siis pienin mahdollinen etäisyys K:n ja J:n muiden tasojen välillä on sama, kuin pienin mahdollinen etäisyys K:n ja minkä tahansa kokonaislukukoordinaattisen pisteen, joka ei kuulu K:hon, välillä. Riittää siis hakea pienin mahdollinen nollasta poikkeava etäisyys , jossa , ja . Nyt osoittajan jokainen termi on määritelmän mukaan jaollinen lukujen suurimmalla yhteisellä tekijällä, joten koko osoittaja on jaollinen ko. tekijällä. Tästä seuraa, että osoittajan positiiviset arvot ovat vähintään tuon suurimman tekijän kokoisia. Toistaalta, on olemassa sellaiset kertoimet , joilla osoittaja on juuri tuo , tällaiset kertoimet saa selville esim. soveltamalla eukleideen algoritmia lukuihin , sitten lukuihin , sitten lukuihin , jne.. Pienin mahdollinen etäisyys on siis

20. (LA)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan ensin yhtälöä . Etsitään x:ää muodossa , mikä edustaa mielivaltaista kokonaislukua. Tällöin vaaditun yhtälön kanssa on yhtäpitävää . x ja y ovat kokonaislukuja täsmälleen silloin kun p ja q ovat N:n tekijöitä, sillä syt(p,p+q)=syt(q,p+q)=1. Eri ratkaisuja x,y saadaan aina kun suhde saa eri arvoja, ja kirjoittamalla N:n alkutekijähajotelma voidaan todeta tällaisiksi suhteiksi luvut , missä sekä edellisten vastaluvut lukuun ottamatta tapausta eli . Kelvollisia suhteita ja siis ratkaisuja on .

Yksinkertaisuuden vuoksi tarkastellaan toisessa yhtälössä ensin tapaukset, joissa , jolloin . Kirjoittamalla saa yhtälö muodon .
Jos , on , ja edelleen . Tässä l:n on oltava M:n (positiivinen) tekijä, ja toisaalta tällöin kelvollinen ratkaisu saadaan täsmälleen valitsemalla . Ratkaisuja saadaan siis tässä tapauksessa yhtä monta kuin :llä on positiivisia tekijöitä.

Olkoon sitten N jaoton neljällä. Koska , N:n ollessa muotoa 2*(2r+1) ei ratkaisuja ole lainkaan. Olkoon siis N pariton. Yhtälöstä nähdään heti, että k:n on oltava N:n tekijä. Toisaalta jos k on mikä tahansa N:n tekijä, ratkaisu saadaan täsmälleen valinnalla , joka on kokonaisluku. Ratkaisuja on tällöin yhtä monta kuin N:n positiivisia tekijöitä.

Tapaus ei tuota ratkaisua, ja ratkaisut , joille vastaavat bijektiivisesti jo käsiteltyjä ratkaisuja , sillä ja . Täten ratkaisuja on yhteensä kaksi kertaa edellä mainitut määrät. Käyttämällä hyväksi N:n alkutekijähajotelmaa voidaan ratkaisujen lukumäärä ilmaista kaikissa tapauksissa muodossa .

Todettakoon vielä, että yhtälöillä ei ole yhteisiä ratkaisuja. Tämä nähdään eliminoimalla yhtälöparista N ja laventamalla nimittäjät: . Jotta kaikki lausekkeet olisivat mielekkäitä, eivät x ja y voi olla nollia. Jos nyt , missä , saadaan . Tämä tarkoittaa, että sekä a+b että a-b jakavat ab:n. Jos alkuluku p jakaa a+b:n, voidaan olettaa, että p jakaa a:n. Tällöin p jakaa luvun . a:n ja b:n yhteistekijättömyyden nojalla on oltava . Aivan vastaavasti saadaan , ja . Tämä tarkoittaa, että joko x tai y on nolla - ristiriita, ja yhtälöillä ei voi olla yhteistä kokonaislukuratkaisua.

21. (JS)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

(Kysyin apua Dr Voglerilta, The Math Forumista) Elliptisen yhtälön aste on 0 ja torsioryhmä Z/3Z, joten yhtälöllä on täsmälleen kolme pistettä, joissa kumpikin koordinaatti on rationaalinen. Helposti huomataan, että ne ovat (0,-1), (0,1) ja (0,1,0), joka on äärettömyydessä. Siten positiivisia rationaaliratkaisuja ei ole.

22. (JS)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio on annettu osoitteessa https://oeis.org/A226246/internal , kaavat g := gcd(n,k), r := sqrt(n*n+k*k)/2, T(n,k) = n+k+g+2*(g*floor(r/g)-floor(r/min(n,k))-1), missä T(n,k) kuvastaa kysyttyjen ruutujen lukumäärää. Todistus puuttuu.

23. (JS)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon pallon keskipiste, pallon säde 1 ja . Tällöin joten riittää osoittaa, että . Mutta joten . Väite seuraa AM-GM -epäyhtälöstä.

Toinen epäyhtälö todistetaan samoin. Kirjoitetaan , jolloin riittää todistaa, että . Avataan sulut ja huomataan, että kaikilla .

24. (TT)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos , niin lauseke ay + bz + cx kasvaa valinnalla y = 0, b = k. Siis Jos , niin vastaavasti

25[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Menelauksen lauseen mukaan Siten

Vastaavasti

Siten

Erilaisia kaavoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]



(Aritmeettis-geometris-harmoninen epäyhtälö)