Matematiikka/Polynomit

Polynomi on vähintään yhdestä muuttujasta koostuva moniosainen lauseke. Esimerkki polynomista on $2x+3$.

Asteet ja nimet

Polynomissa asteet ovat seuraavat:

• $x^{3}$ on kolmannen asteen termi
• $x^{2}$ on toisen asteen termi
• $x=x^{1}$ on ensimmäisen asteen termi
• $3$ on vakiotermi.

Nämä yksittäiset termit ovat nimeltään monomeja. Polynomin aste on korkein monomin aste. Polynomin monomien järjestyksen tulee olla asteiden mukainen järjestys.

$2x$ on monomi, $3x+7$ on binomi, $4x^{2}-2x+11$ on trinomi. Kaikki ovat polynomeja. (mono = 1, bi = 2, tri = 3, poly = monta)

Polynomien yhteen- ja vähennyslasku

Muista, ettei muuttujia ja numeroita voi laskea yhteen. Eri asteisia muuttujia, tai eri muuttujia, ei myöskään voi laskea yhteen. Saman asteen muuttujia voi laskea yhteen: $x+x=2x$, $x^{2}+x^{2}=2x^{2}$. Monomien yhteenlaskussa on myös aina otettava huomioon merkki ennen monomia. Jos ennen monomia on miinus, monomin arvo on negatiivinen.

• $2x^{3}+3x-2x^{2}+7-x+15x-2x^{5}-x^{3}=2x^{5}+x^{3}-2x^{2}+17x+7$

Sulun avauksessa on huomioitava, että jos ennen sulkuja on miinus, miinus vaikuttaa kaikkiin monomeihin sulkeiden sisällä.

• $x-(2x+4)=x-2x-4=-x-4$

Polynomien kertolasku

Polynomien kertolaskussa kertoja (1. tekijä) vaikuttaa kaikkiin monomeihin. Huomaa, että kertomerkkiä ei tarvitse aina merkitä. Lisäksi $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ ja $(a^{m})^{n}=a^{mn}$.

• $x+x=2x$, $x\cdot x=x^{2}$
• $-3(2x+3)=-6x-9$ kerrotaan kaikki kertojalla
• $(4x+2)(2x-3)=8x^{2}-12x+4x-6=8x^{2}-8x-6$ kerrotaan kaikki kaikella

Muistikaavoja

• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

• $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

• $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

• $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

• $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

• $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

Polynomien jakolasku

Monomi jaettuna monomilla

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$.

Esimerkki: ${\frac {x^{3}}{x}}=x^{3-1}=x^{2}$

Esimerkki 2: ${\frac {x^{2}}{x^{2}}}=x^{2-2}=x^{0}=1$

Esimerkki 3: ${\frac {6x^{4}}{2x^{2}}}={\frac {6}{2}}\cdot {\frac {x^{4}}{x^{2}}}=3x^{2}$

Koska ${\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}$, niin ${\frac {a+b}{c}}={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}$.

Polynomi jaettuna monomilla

Esimerkki:

${\frac {4x^{2}+2x}{2x}}={\frac {4x^{2}}{2x}}+{\frac {2x}{2x}}=2x+1$

Jakolasku voidaan tarkistaa. Jakoyhtälön mukaan jaettava = jakaja $\cdot$ (vaillinainen) osamäärä + jakojäännös. Siis osamäärä kerrottuna jakajalla on jaettava, kun jako meni tasan.

Esimerkin tarkistus:

$2x\cdot (2x+1)=4x^{2}+2x$.

Esimerkki 2:

${\frac {6x^{4}+4x^{3}-8x^{2}+2x-7}{2x}}={\frac {6x^{4}}{2x}}+{\frac {4x^{3}}{2x}}-{\frac {8x^{2}}{2x}}+{\frac {2x}{2x}}-{\frac {7}{2x}}$

$=3x^{3}+2x^{2}-4x+1-{\frac {7}{2x}}$

7 jää jakojäännökseksi. Tarkistus:

$2x(3x^{3}+2x^{2}-4x+1)+7=6x^{4}+4x^{3}-8x^{2}+2x+7$

Polynomien jakaminen jakokulmassa

Kun jaettava on binomi, pitää jakaa jakokulmassa. Tämä on erityisen hankalaa tietokoneella laskettaessa. Mikäli jakokulma on tehtävä tietokoneella, kannattaa se LaTeX-koodin sijaan tehdä esimerkiksi Nspire-laskinohjelmiston Matematiikan piirto -lisäosalla (widgetillä).

Jakokulmassa ensin jaetaan, sitten kerrotaan, sitten vähennetään ja vielä pudotetaan. Polynomit on järjestettävä. Joka asteluvulle on jakokulmassa oma "sarakkeensa".

Esimerkki.

${\frac {12x^{3}+6x^{2}+2}{2x-1}}$

Tehdään jakokulma, asetetaan jakaja vasemmalle ja jaettava jakokulman sisälle. Koska ensimmäisen asteen termiä ei ole, jätetään sen tilalle tyhjää.

${\begin{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\2x-1{\overline {\vert 12x^{3}+6x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2}}\\\end{matrix}}$

Ensin jaetaan jaettavan 1. termi jakajan 1. termillä. ${\frac {12x^{3}}{2x}}=6x^{2}$. Tämä on vastauksen 1. termi, ja asetetaan se jakokulman yläpuolelle 2. asteen termien sarakkeeseen.

${\begin{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^{2}\\2x-1{\overline {\vert 12x^{3}+6x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2}}\\\end{matrix}}$

Tämän jälkeen kerrotaan saatu vastauksen ensimmäinen termi $6x^{2}$ koko jakajalla 2x-1. Sijoitetaan saman asteen termit allekkain.

${\begin{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^{2}\\2x-1{\overline {\vert 12x^{3}+6x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2}}\\12x^{3}-6x^{2}\ \ \ \ \\\end{matrix}}$

Tämän jälkeen tulisi vähentää. Koska vähennyslaskun määritelmän mukaan vähentäjään lisätään vähennettävän vastaluku, voidaan polynomista ottaa vastapolynomi ja lisätä se alkuperäiseen polynomiin. Kaikki etumerkit tulee siis muuttaa. Uusi merkki sijoitetaan vanhan merkin yläpuolelle. Jos etumerkkiä ei ole, se on +. Ne termit, joiden alla on tyhjää, pudotetaan.

${\begin{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^{2}\\2x-1{\overline {\vert 12x^{3}+6x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2}}\\{\underline {\mp 12x^{3}\pm 6x^{2}}}\ \ \ \ \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2\\\end{matrix}}$

Tästä alkaa toinen kierros, eli jaetaan kuten edellä: ${\frac {12x^{2}}{2x}}=6x$. Sijoitetaan ylös 1. asteen termin sarakkeeseen ja kerrotaan 6x koko jakajalla.

${\begin{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^{2}+6x\\2x-1{\overline {\vert 12x^{3}+6x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2}}\\{\underline {\mp 12x^{3}\pm 6x^{2}}}\ \ \ \ \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12x^{2}-6x\\\end{matrix}}$

Vähennetään kuten edellä eli muutetaan vastapolynomiksi ja lisätään edelliseen.

${\begin{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^{2}+6x\\2x-1{\overline {\vert 12x^{3}+6x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2}}\\{\underline {\mp 12x^{3}\pm 6x^{2}}}\ \ \ \ \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\underline {\mp 12x^{2}\pm 6x}}\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x+2\\\end{matrix}}$

Jälleen jaetaan tuloksen suurin termi jakajan suurimmalla termillä. ${\frac {6x}{2x}}=3$. Kerrotaan koko jakaja tuloksella eli kolmella. Kolmonen sijoitetaan jälleen sen omaan sarakkeeseen, nollannen termin yläpuolelle.

${\begin{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^{2}+6x+3\\2x-1{\overline {\vert 12x^{3}+6x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2}}\\{\underline {\mp 12x^{3}\pm 6x^{2}}}\ \ \ \ \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\underline {\mp 12x^{2}\pm 6x}}\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x+2\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x-3\\\end{matrix}}$

Muutetaan 6x-3 vastapolynomiksi ja lisätään se 6x+2:een (eli vähennetään 6x-3 6x+2:sta).

${\begin{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^{2}+6x+3\\2x-1{\overline {\vert 12x^{3}+6x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2}}\\{\underline {\mp 12x^{3}\pm 6x^{2}}}\ \ \ \ \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 12x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ +2\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\underline {\mp 12x^{2}\pm 6x}}\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x+2\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\underline {\mp 6x\pm 3}}\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5\\\end{matrix}}$

Koska viisi on nollannen asteen termi ja jakajan suurimman termin asteluku (yksi) on suurempi kuin nolla, ei jakolaskua voida jatkaa ja 5 jää jakojäännökseksi.

Vastaus on siis $6x^{2}+6x+3+{\frac {5}{2x-1}}$.

Tarkistus jakoyhtälön avulla eli kertomalla jakaja vaillinaisella osamäärällä ja vielä lisäämällä jakojäännös:

$(2x-1)(6x^{2}+6x+3)+5=12x^{3}+12x^{2}+6x-6x^{2}-6x-3+5=12x^{3}+6x^{2}+2$

Koska tarkistuksen vastaus on sama kuin alkuperäinen jaettava, jakolasku on oikein ratkaistu.

Tehtäviä

Maalaa valkoinen teksti kysymyksen jälkeen saadaksesi vastaukset näkyviin. Vastauksissa x^y tarkoittaa $x^{y}$.

1. Sievennä $3x+2$. V: 3x + 2
2. Sievennä $2x+7x$. V: 9x
3. Sievennä $3x^{2}\cdot x$. V: 3x^3
4. Sievennä $2\cdot 4x$. V: 8x
5. Sievennä $2(4x-1)$. V: 8x - 2
6. Sievennä $(3x-2)(-3+x)$. V: 3x^2 - 11x - 2x + 6