Matematiikka/Trigonometria

Tämä luku kertoo trigonometriasta, joka tunnetaan myös nimellä kolmiomittaus. Kolmiomittaus käsittelee nimensä mukaisesti suorakulmaisten kolmioiden mittausta, eli kolmion sivujen pituuksien ja kulmien mittaamista.

Suorakulmainen kolmio ja Pythagoraan lause

Suorakulmainen kolmio on kolmio, jossa on suora 90 asteen kulma.

Suorakulmaisen kolmion sivuista käytetään matematiikassa tiettyjä nimityksiä. Suoran kulman viereisistä sivuista käytetään nimeä kateetti, ja jäljelle jäävästä pitkästä sivusta käytetään nimeä hypotenuusa. Hypotenuusa on aina suorakulmaisen kolmion pisin sivu.

Pythagoraan lauseen mukaan $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, kun a ja b on kateetit ja c hypotenuusa, eli kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliön summa. Jos kateetit ovat 7 ja 11, voidaan hypotenuusa laskea Pythagoraan lauseella seuraavasti:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$7^{2}+11^{2}=c^{2}$

$49+121=c^{2}$

$170=c^{2}$

$c={\sqrt {170}}$

$c\approx 13$

Jos hypotenuusa on 16 ja kateetti a on 7, voidaan kateetti b laskea seuraavasti:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$7^{2}+b^{2}=13^{2}$

$b^{2}=13^{2}-7^{2}$

$b^{2}=169-49$

$b^{2}=120$

$b={\sqrt {120}}$

$b\approx 11$

Kulmien suuruus ja sivujen suhteet

Kateetit ovat aina tietyssä suhteessa hypotenuusaan, mutta suorakulmaisen kolmion sivut ovat myös tietyissä suhteissa toisiinsa ja kolmion muiden kulmien suuruuteen. Jos esimerkiksi kolmion kaksi muuta kulmaa ovat 45°, ovat kateetit tasan yhtä pitkiä, minkä näkee melko helposti, tai jos kolmion yksi kulma on 60° ovat tämän kulman viereiset sivut sellaiset että toinen on kaksi kertaa niin pitkä kuin toinen, mitä ei ehkä näe yhtä helposti.

Tiedot tällaisista suhteista auttavat laskemaan suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia. Jos esimerkiksi tiedetään että suorakulmaisen kolmion yksi kulma on 60° ja tiedetään myös tämän kulman viereisen kateetin pituus, voidaan tästä laskea kolmion hypotenuusan pituus kertomalla kateetti kahdella.

Sini, kosini ja tangentti

Suorakulmaisen kolmion sivujen suhteita toisiinsa ja kolmion kulmiin kutsutaan erityisillä nimillä. Nämä nimet ovat sini, kosini ja tangentti. Kun suorakulmaisessa kolmiossa käsiteltävän kulman vastainen kateetti on a, viereinen b ja hypotenuusa on c,

$sin\alpha ={\frac {a}{c}}$

$cos\alpha ={\frac {b}{c}}$

$tan\alpha ={\frac {a}{b}}$.

Sini on siis tiedetystä kulmasta katsottuna vastaisen kateetin ja hypotenuustan suhde, kosini viereisen kateetin ja hypotenuusan suhde ja tangentti kateettien välinen suhde.

Laskutoimituksia trigonometrisillä funktioilla

Kuvan kolmion sivun a pituus on 6 cm ja kulma $\alpha$ on 35 astetta. Lasketaan hypotenuusa. Koska olemme maininneet kulmaan $\alpha$ verrattuna vastaisen kateetin ja hypotenuusan, kulma voidaan laskea sinillä. Sijoitetaan sinin kaavaan kyseessä olevat luvut ja ratkaistaan hypotenuusa.

$sin35={\frac {6}{c}}$

$sin35\cdot c=6$

$c={\frac {6}{sin35}}$

$c\approx 10,5$

Hypotenuusan pituus on noin 10,5 cm.

Kulman laskeminen

Kun tiedetään vähintään kaksi sivua, kaikki kolmion kulmat voidaan laskea. Suora kulma on 90 astetta ja kolmion kulmien summa on 180 astetta. Kun tiedetään kaksi sivua, voidaan käyttää trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita. Käyttäen yhä ylläolevaa kolmiota,

$sin^{-1}{\frac {a}{c}}=\alpha$

$cos^{-1}{\frac {b}{c}}=\alpha$

$tan^{-1}{\frac {a}{b}}=\alpha$

Jos tiedämme, että kulmasta $\alpha$ katsottuna vastainen kateetti on 5 ja viereinen 7, voimme laskea kulman $\alpha$ suuruuden. Koska tiedämme molempien kateettien pituudet, käytämme tangenttia. Sijoitetaan tiedetyt arvot laskukaavaan.

$tan^{-1}{\frac {a}{b}}=\alpha$

$tan^{-1}{\frac {5}{7}}=\alpha$

$tan^{-1}0,7143=\alpha$

$36\approx \alpha$

$\alpha \approx 36$

Kulma $\alpha$ on noin 36 astetta.