Matematiikka/Trigonometria

Kohteesta Wikikirjasto
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Tämä luku kertoo trigonometriasta, joka tunnetaan myös nimellä kolmiomittaus. Kolmiomittaus käsittelee nimensä mukaisesti suorakulmaisten kolmioiden mittausta, eli kolmion sivujen pituuksien ja kulmien mittaamista.

Suorakulmainen kolmio ja Pythagoraan lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suorakulmainen kolmio on kolmio jonka yksi kulma on suorakulma, eli kulma jonka suuruus on 90 astetta.

Triangle.Right.svg

Suorakulmaisen kolmion sivuista käytetään matematiikassa tiettyjä nimityksiä. Suorakulman viereisistä sivuista käytetään nimeä kateetti, ja jäljelle jäävästä pitkästä sivusta käytetään nimeä hypotenuusa. Hypotenuusa on aina suorakulmaisen kolmion pisin sivu.

Matemaattinen lause nimeltään Pythagoraan lause sanoo että kateettien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö, eli jos kumpikin kateetti kerrotaan itsellään ja saadut tulot lasketaan yhteen, on summa yhtä suuri kuin jos hypotenuusa kerrottaisiin itsellään. Tästä seuraa että kateettien ja hypotenuusan välillä vallitsevat tietyt suhteet, ja jos esimerkiksi tiedetään suorakulmaisesta kolmiosta kahden sivun pituus, voidaan tämän tiedon avulla laskea jäljelle jäävän sivun pituus.

Kulmien suuruus ja sivujen suhteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kateetit ovat aina tietyssä suhteessa hypotenuusaan, mutta suorakulmaisen kolmion sivut ovat myös tietyissä suhteissa toisiinsa ja kolmion muiden kulmien suuruuteen. Jos esimerkiksi kolmion kaksi muuta kulmaa ovat 45°, ovat kateetit tasan yhtä pitkiä, minkä näkee melko helposti, tai jos kolmion yksi kulma on 60° ovat tämän kulman viereiset sivut sellaiset että toinen on kaksi kertaa niin pitkä kuin toinen, mitä ei ehkä näe yhtä helposti.

Tiedot tällaisista suhteista auttavat laskemaan suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia. Jos esimerkiksi tiedetään että suorakulmaisen kolmion yksi kulma on 60° ja tiedetään myös tämän kulman viereisen kateetin pituus, voidaan tästä laskea kolmion hypotenuusan pituus kertomalla kateetti kahdella.

Sini, kosini ja tangentti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Suorakulmaisen kolmion sivujen suhteita toisiinsa ja kolmion kulmiin kutsutaan erityisillä nimillä. Nämä nimet ovat sini, kosini ja tangentti.

Jos tiedetään suorakulmaisen kolmion kulman suuruus (muun kuin suorakulman), on tätä kulmaa vastapäätä olevan kateetin ja hypotenuusan suhde nimeltään sini. Tämä tarkoittaa sitä että luku joka saadaan kun jaetaan kulman vastapäinen kateetti hypotenuusalla on tämän kulman sini. Yksi erikoistapaus on kulma jonka suuruus on 30°, sillä silloin vastapäinen kateetti jaettuna hypotenuusalla on 0,5, eli 30° kulman sini on 0,5. Tämä on erikoistapaus siksi että sekä kulman suuruus 30° että sinin arvo 0,5 ovat tasalukuja, kun yleensä ne eivät ole tasalukuja.

Jos tiedetään suorakulmaisen kolmion kulman suuruus (muun kuin suorakulman), on tämän kulman viereisen kateetin ja hypotenuusan suhde nimeltään kosini. Tämä tarkoittaa sitä että luku joka saadaan kun jaetaan kulman viereinen kateetti hypotenuusalla on tämän kulman kosini. Kosinin erikoistapaus on kulma jonka suuruus on 60°, ja myös tällöin kosinin arvo on 0,5.

Jos tiedetään suorakulmaisen kolmion kulman suuruus (muun kuin suorakulman), on tätä kulmaa vastapäätä olevan kateetin ja kulman viereisen kateetin suhde nimeltään tangentti. Tämä tarkoittaa sitä että luku joka saadaan kun jaetaan kulman vastainen kateetti kulman viereisellä kateetilla on tämän kulman tangentti. Tangentin erikoistapaus on kulma jonka suuruus on 45°, koska tällöin kateetit ovat yhtä pitkät, eli tangentti on 1.