Matematiikka/Vektorit

Esimerkki vektorista, jonka päätepiste on (2, 3).

Vektori on sellainen geometrinen malli, jolla on vain suunta ja pituus. Vektoria merkitään kirjaimella, jonka päällä on viiva: ${\bar {i}}$. Vektoria merkitään koordinaatistossa nuolella.

Vektori voidaan jakaa komponentteihin vektorein ${\bar {i}}$ ja ${\bar {j}}$ siten, että ensimmäinen vektori on yhden yksikön mittainen ja suunta on x-akselin suuntainen positiiviseen suuntaan, ja jälkimmäinen on sama, mutta y-akselin suuntaisena. Esimerkiksi kuvassa näkyvä vektori, joka päättyy koordinaatteihin (2, 3), voidaan jakaa komponentteihin ${\bar {a}}=2{\bar {i}}+3{\bar {j}}$ olettaen, että vektori lähtee origosta, vaikkei sitä ole kuvaan merkittykään. Jos vektori ei lähde origosta, voidaan vektori jakaa komponentteihin vähentämällä päätepisteen koordinaateista alkupisteen koordinaatit eli ${\bar {a}}=(x_{1}-x_{0}){\bar {i}}+(y_{1}-y_{0}){\bar {j}}$, missä alkupisteen koordinaatit ovat $(x_{0},y_{0})$ ja päätepisteen koordinaatit ovat $(x_{1},y_{1})$.

Fysiikassa käytetään myös vektorisuureita, kun jollakin suureella on suuruuden lisäksi suunta (esimerkiksi kiihtyvyys tai voimat).

Nollavektori ${\bar {0}}$ on vektori, jonka suunta on epämääräinen ja pituus $|{\bar {0}}|=0$. Pisteen paikkavektori vektori, joka menee origosta pisteeseen: pisteen $P=(2,3)$ paikkavektori on kuvassa, jos vektori lähtee origosta. Vektori on siis ${\bar {OP}}$.

Vektoreihin liittyviä laskutoimituksia

Vektorien peruslaskutoimituksia

Esimerkki vektorin vähennyslaskusta. Voidaan myös laskea yhteenlaskuna siten, että tehdään ensin vektorin b vastavektori.

Vektorit voidaan laskea yhteen komponenttien perusteella: siis ${\bar {a}}+{\bar {b}}=(i_{a}+i_{b}){\bar {i}}+(j_{a}+j_{b}){\bar {j}}$, kun ${\bar {a}}=i_{a}{\bar {i}}+j_{a}{\bar {j}}$ ja ${\bar {b}}=i_{b}{\bar {i}}+j_{b}{\bar {j}}$. Vastavektori saadaan puolestaan seuraavasti: $-{\bar {a}}=-i_{a}{\bar {i}}-j_{a}{\bar {j}}$ käyttäen edellisiä vektoreita. Vähennyslasku puolestaan saadaan laskemalla vektoriin ${\bar {a}}$ yhteen vektorin ${\bar {b}}$ vastavektori. Graafisesti vektorin yhteenlasku toimii siten, että vektorin ${\bar {a}}$ päätepisteestä laitetaan alkamaan vektori ${\bar {b}}$, ja ${\bar {a}}+{\bar {b}}$ on vektorin ${\bar {a}}$ lähtöpisteestä vektorin ${\bar {b}}$ päätepisteeseen. Pätee myös se, että jos vektorit ${\bar {a}}$ ja ${\bar {b}}$ laitetaan alkamaan samasta pisteestä, niin ${\bar {a}}-{\bar {b}}$ on vektori b:n päätepisteestä a:n päätepisteeseen. Graafisesti voi toki laskea vähennyslaskun myös tavalla ${\bar {a}}+(-{\bar {b}})$.

Vektorin voi kertoa reaaliluvulla: $k\cdot {\bar {a}}=kx_{a}{\bar {i}}+ky_{a}{\bar {j}}$. Saatu vektori on samansuuntainen, jos $k>0$ ja vastakkaissuuntainen, jos $k<0$. Jos k on nolla, tuloksena on nollavektori, joka on suunnaltaan määrittelemätön. Samoin toimii jakolasku. Vektorien välistä jakolaskua ei ole määritelty.

Vektorin pituus

Vektorin pituus voidaan laskea soveltamalla Pythagoraan lausetta: $|{\bar {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}={\sqrt {{\bar {a}}\cdot {\bar {a}}}}$. Siis esimerkiksi vektorin ${\bar {a}}=3{\bar {i}}+4{\bar {j}}$ pituus on ${\bar {a}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {9+16}}={\sqrt {25}}=5$. Lisäksi ${\bar {a}}\cdot {\bar {a}}={\sqrt {3\cdot 3+4\cdot 4}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5=|{\bar {a}}|$ (pistetulosta enemmän seuraavassa).

Vektorien pistetulo

Vektorien pistetulo voidaan laskea seuraavasti: ${\bar {a}}\cdot {\bar {b}}=a_{i}\cdot b_{i}+a_{j}\cdot b_{j}$, jossa siis kerrotaan i- ja j-kertoimet ja ynnätään tulokset yhteen. Pistetulon voi laskea myös seuraavasti (kaavaa voi hyödyntää myös vektorien välisen kulman selvittämiseen): ${\bar {a}}\cdot {\bar {b}}=\cos({\bar {a}},{\bar {b}})\cdot \left|{\bar {a}}\right|\left|{\bar {b}}\right|$. Esimerkiksi vektorien ${\bar {a}}=2{\bar {i}}+3{\bar {j}}$ ja ${\bar {b}}=3{\bar {i}}$ pistetulo on ${\bar {a}}\cdot {\bar {b}}=2\cdot 3+3\cdot 0=6$. Vektorien välinen kulma puolestaan on seuraava:

$\alpha ={\text{cos}}^{-1}({\frac {{\bar {a}}\cdot {\bar {b}}}{|{\bar {a}}||{\bar {b}}|}})={\text{cos}}^{-1}({\frac {2\cdot 3+3\cdot 0}{{\sqrt {2^{2}+3^{2}}}\cdot {\sqrt {3^{2}+0^{2}}}}})={\text{cos}}^{-1}({\frac {6}{{\sqrt {13}}\cdot 3}})={\text{cos}}^{-1}({\frac {2}{\sqrt {13}}})\approx 56,3^{\circ }$.

Kun pistetulo on nolla, vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Yksikkövektori

Yksikkövektorin pituus on yksi ja saadaan jakamalla vektori tämän pituudella: ${\bar {a}}^{0}={\frac {\bar {a}}{|{\bar {a}}|}}$.

Tehtäviä

1. Laske vektorien ${\bar {a}}=2{\bar {i}}+4{\bar {j}}$ ja ${\bar {b}}=3{\bar {i}}+{\bar {j}}$ summa ja erotus.
2. Laske vektorien ${\bar {a}}=4{\bar {i}}+{\bar {j}}$ ja ${\bar {b}}=5{\bar {i}}+3{\bar {j}}$ summa ja erotus.
3. Laske vektorien ${\bar {a}}=2{\bar {i}}+6{\bar {j}}$ ja ${\bar {b}}=3{\bar {i}}+1{\bar {j}}$ summa ja erotus.
4. Mikä vektori pitää vähentää vektorista ${\bar {a}}=4{\bar {i}}-2{\bar {j}}$, jossa saadaan vektori ${\bar {c}}={\bar {i}}$?
5. Kappaleeseen vaikuttaa voimat, joita voidaan esittää vektoreilla ${\bar {F_{1}}}=20{\bar {i}}+30{\bar {j}}$ sekä ${\bar {F_{2}}}=-10{\bar {i}}-20{\bar {j}}$. Laske kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoimavektori ${\bar {F_{3}}}$.
6. Mikä on pisteen $P=(3,4)$ paikkavektori, entä pisteen $Q=(-1,-6)$ paikkavektori, entä näiden summavektori? Mikä on vektori ${\bar {a}}={\bar {PQ}}$?
7. Laske vektorien ${\bar {a}}=3{\bar {i}}+4{\bar {j}}$ ja ${\bar {b}}=2{\bar {i}}+2{\bar {j}}$ summavektorin pituus sekä vektorien pituuksien summa.
8. Mikä on vektorin ja sen vastavektorin summavektori?
9. Suora piirretään vektorin ${\bar {a}}=2{\bar {i}}+3{\bar {j}}$ mukaisesti. Mikä on suoran yhtälö?
10. Laske vektorien ${\bar {a}}=2{\bar {i}}+3{\bar {j}}$ ja ${\bar {b}}={\bar {i}}-5{\bar {j}}$ pistetulo.
11. Laske vektorien ${\bar {a}}=5{\bar {i}}+{\bar {j}}$ ja ${\bar {b}}=6{\bar {i}}+2{\bar {j}}$ pistetulo ${\bar {a}}\cdot {\bar {b}}$ ja ${\bar {a}}\cdot ({\bar {a}}+{\bar {b}})$.
12. Osoita, että vektorin pituus on sama kuin vektorin pistetulon itsensä kanssa neliöjuuri.
13. Minkä vektorin kanssa vektori ${\bar {a}}=3{\bar {i}}+{\bar {j}}$ on kohtisuorassa: ${\bar {b_{1}}}=3{\bar {i}}-{\bar {j}}$, ${\bar {b_{2}}}=2{\bar {i}}-3{\bar {j}}$ vai ${\bar {b_{3}}}=2{\bar {i}}-6{\bar {j}}$?
14. Minkä vektorin kanssa vektori ${\bar {a}}=2{\bar {i}}+3{\bar {j}}$ on kohtisuorassa, kun toisen vektorin i-kerroin on 4? Entä, kun i-kerroin on x?
15. Millä vektorin t arvoilla vektorit ${\bar {a}}=3t{\bar {i}}+t{\bar {j}}$ ja ${\bar {b}}=4{\bar {i}}+(t-1){\bar {j}}$ ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan?
16. Määritä vektori ${\bar {c}}$, kun ${\bar {c}}\cdot ({\bar {i}}+{\bar {j}})=2$ ja ${\bar {c}}\cdot ({\bar {i}}-{\bar {j}})=3$ (yo k2019).
17. Vektoreille pätee $|{\bar {a}}||{\bar {b}}|=6$ ja ${\bar {a}}\cdot {\bar {b}}=5$. Laske vektorien a ja b välinen kulma.
18. Laske vektorien ${\bar {a}}=3{\bar {i}}-{\bar {j}}$ ja ${\bar {b}}=5{\bar {i}}+8{\bar {j}}$ välinen kulma.
19. Laske vektorien ${\bar {a}}=2{\bar {i}}+5{\bar {j}}$ ja ${\bar {b}}=16{\bar {i}}$ välinen kulma.
20. Kolmion kulmat ovat $A=(0,3)$, $B=(1,5)$ ja $C=(9,8)$. Laske kolmion kulmien suuruudet.
21. Pisteestä $P=(2,1)$ edetään 41 yksikköä vektorin ${\bar {a}}=4{\bar {i}}+5{\bar {j}}$ suuntaan ja sen jälkeen 75 yksikköä vektorin ${\bar {b}}=7{\bar {i}}+24{\bar {j}}$. Mihin pisteeseen päädytään?

Tehtävien vastaukset

1. $5{\bar {i}}+5{\bar {j}}$, $-{\bar {i}}+3{\bar {j}}$
2. $9{\bar {i}}+4{\bar {j}}$, $-{\bar {i}}-2{\bar {j}}$
3. $5{\bar {i}}+7{\bar {j}}$, $-{\bar {i}}+5{\bar {j}}$
4. $3{\bar {i}}+2{\bar {j}}$
5. ${\bar {F_{3}}}=10{\bar {i}}+10{\bar {j}}$
6. ${\bar {OP}}=3{\bar {i}}+4{\bar {j}},{\bar {OQ}}=-{\bar {i}}-6{\bar {j}},{\bar {OP}}+{\bar {OQ}}=2{\bar {i}}-2{\bar {j}},{\bar {a}}=(-1-3){\bar {i}}+(-6-4){\bar {j}}=-4{\bar {i}}-10{\bar {j}}$
7. ${\bar {a}}+{\bar {b}}=5{\bar {i}}+6{\bar {j}}\ |{\bar {a}}+{\bar {b}}|={\sqrt {5^{2}+6^{2}}}={\sqrt {61}}$ ja $|{\bar {a}}|={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5\ |{\bar {b}}|={\sqrt {2^{2}+2^{2}}}={\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}|{\bar {a}}|+|{\bar {b}}|=5+2{\sqrt {2}}$
8. Olkoon ${\bar {a}}=x{\bar {i}}+y{\bar {j}}$. Tällöin $-{\bar {a}}=-x{\bar {i}}-y{\bar {j}}$ ja ${\bar {a}}+(-{\bar {a}})=(x-x){\bar {i}}+(y-y){\bar {j}}={\bar {0}}$ eli nollavektori.
9. Vektori menee 2 yksikköä x-akselia eteenpäin ja 3 yksikköä y-akselia eteenpäin. Siis suoran yhtälö on $y={\frac {3}{2}}x$.
10. -13
11. 32, 58
12. Olkoon ${\bar {a}}=x{\bar {i}}+y{\bar {j}}$. Tällöin $|{\bar {a}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ja ${\bar {a}}\cdot {\bar {a}}=x^{2}+y^{2}$, joten ${\sqrt {{\bar {a}}\cdot {\bar {a}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$.
13. ${\bar {b_{3}}}$
14. $2\cdot 4+3\cdot y=0$ joten i-kerroin on ${\frac {8}{3}}$. Kun i-kerroin on x, niin $2x+3y=0$ eli $y={\frac {2x}{3}}$ eli i-kerroin on ${\frac {2x}{3}}$.
15. $3t\cdot 4+t\cdot (t-1)=0$ joten $12t+t^{2}-t=0$ joten $t^{2}+11t=0$ joten $t(t+11)$ joten $t=-11$. $t=0$ ei kelpaa, koska muuten a olisi nollavektori.
16. Olkoon ${\bar {c}}=a{\bar {i}}+b{\bar {j}}$. Tällöin $a\cdot 1+b\cdot 1=2$ eli $a+b=2$ ja $a\cdot 1+b\cdot (-1)=3$ eli $a-b=3$. Yhtälöparista yhteenlaskukeinolla saadaan $2a=5$ joten $a={\frac {5}{2}}$ ja siten saadaan $b=-{\frac {1}{2}}$.
17. $\alpha ={\text{cos}}^{-1}({\frac {5}{6}})\approx 36^{\circ }$
18. $\alpha ={\text{cos}}^{-1}({\frac {7}{\sqrt {890}}})\approx 76^{\circ }$
19. Kulma on sama kuin vektorien ${\bar {a}}$ ja ${\bar {i}}$ välinen kulma. $\alpha ={\text{cos}}^{-1}({\frac {2}{\sqrt {29}}})\approx 68^{\circ }$
20. Riittää laskea kahden kulman suuruus ja soveltaa tietoa, että kolmien kulmien summa on 180 astetta. Saadaan tulokset 137, 36 ja 9 astetta.
21. $41\cdot {\frac {{\sqrt {41}}(4{\bar {i}}+5{\bar {j}})}{41}}=4{\bar {i}}+5{\bar {j}}$ ja $75\cdot {\frac {7{\bar {i}}+24{\bar {j}}}{25}}=21{\bar {i}}+72{\bar {j}}$ ja piste on $(2,1)+(4,5)+(21,72)=(27,78)$.