Siirry sisältöön

Matematiikka/Yhtälöpari

Wikikirjastosta

Yhtälöpari tarkoittaa kahta yhtälöä. Ensimmäisen yhtälön x ja toisen yhtälön x ovat sama luku.

Yhtälöparin ratkaisu graafisesti

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhtälöparin voi ratkaista graafisesti piirtämällä ne koordinaatistolle ja katsomalla leikkauspisteen. Huomaa, että tällöin molempien pitää alkaa "". Yhtälöpareja voi muuttaa niin, että molemmat yhtälöt alkavat em. tavalla.

Yhtälöparin ratkaisu graafisesti:

x = 4 ja y = 11.

Yhtälöparin ratkaisu sijoitusmenetelmällä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Käytetään samaa yhtälöparia kuin yllä: .

Koska molempien yhtälöiden y:iden arvot ovat samat, myös arvot ja ovat samat. Siispä .

y:n arvo ratkaistaan sijoittamalla x jompaan kumpaan yhtälöön. x kannattaa sijoittaa yhtälöön, jossa yhtälö on helpompi. Tässä tapauksessa molemmat yhtälöt ovat yhtä helppoja. Sijoitetaan x ylempään yhtälöön.

Toinen ratkaisutapa sijoittamalla on se, että kerrottu y:n arvo sijoitetaan toisen yhtälön y:n tilalle:

V: x=2, y=7.

Tässä tavassa pitää muistaa, että jos polynomia edeltää miinus, se vaikuttaa kaikkiin monomeihin.

V: x=6, y=3.

Yhtälöparin ratkaiseminen allekkainlaskuna

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhtälöparista voi tehdä allekkainlaskun. Allekkainlaskussa yhtälöistä saadaan jokin yksirivinen yhtälö. Tavoitteena on, että yksirivisessä yhtälössä on vain yksi muuttuja, jolloin se on ratkaistavissa.

Tällöin vähentämällä saamme .

Sijoitetaan y helpommin ratkaistavassa olevaan yhtälöön.

Vastaus: x=6, y=2. Joskus allekkain yhtälöparin ratkaisemiseen pitää kertoa jomman kumman yhtälön kaikki jäsenet tietyllä luvulla, jotta allekkainlaskussa saadaan jompi kumpi muuttuja kokonaan eliminoitua.

Tästä saadaan kertomalla ylempi yhtälö kahdella seuraava yhtälöpari:

Jonka jälkeen lasketaan muuttujat:

Sijoitetaan y alkuperäiseen helppoon yhtälöön.

Vastaus: x=4, y=-1.

Yhtälöryhmä

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhtälöryhmässä voi olla enemmän yhtälöitä kuin kaksi. Seuraavassa esimerkki yhtälöryhmästä:

Tästä yhtälöryhmästä tehdään kaksi eri yhtälöparia, molemmissa kaksi yhtälöä, jotka ovat molemmat suoraan yhtälöryhmästä. Molemmissa yhtälöpareissa eliminoidaan sama muuttuja. Eliminoidaan x ja tehdään yhtälöryhmästä seuraavat yhtälöparit:

Eliminoidaan ensin 1. yhtälöryhmästä x vähennyslaskulla.

Tästä saadaan yhtälö . Seuraavaksi toinen yhtälöpari, josta eliminoidaan sama muuttuja, x.

Kerrotaan ylempi yhtälö kahdella, jotta saamme eliminoitua x:n.

Saadaan yhtälö .

Laitetaan saadut yhtälöt uuteen yhtälöpariin.

Eliminoidaan jompi kumpi muuttuja. z:n eliminointi on helpompaa, joten eliminoidaan se. Kerrotaan ensin ylempi yhtälö kolmella.

Tästä saadaan yhtälö .

Jaetaan molemmat puolet kuudellatoista.

Sijoitetaan 5 y:n tilalle johonkin kahden muuttujan yhtälöön. Helpompi on , joten käytetään sitä.

Sijoitetaan y ja z kolmen muuttujan yhtälöön.

Vastaus: x = 3, y = 5 ja z = -1.

Vastauksen saa esiin maalaamalla.

1. Tehtävä: Ratkaise yhtälöparit.

V: x=1, y=2

V: x=4, y=7

V: x=3, y=9

2. Teatteriin myytiin yhteensä 160 lippua. Lastenlippu maksoi 4 € ja aikuisten 6 €. Lipuista saatiin 820 €. Laske myytyjen lastenlippujen ja aikuisten lippujen lkm. V: 90 aikuisten lippua, 70 lastenlippua