Fysiikan oppikirja/Suppea suhteellisuusteoria

Suppea suhteellisuusteoria, josta joskus käytetään myös nimitystä erityinen suhteellisuusteoria, on w:Albert Einsteinin vuonna 1905 julkaisema teoria. Sitä voidaan pitää yhtenä modernin fysiikan kuuluisimmista teorioista. Suppean suhteellisuusteorian kuuluisuuden kuvastaa se, että lähes jokainen sukankuluttaja on kuullut kaavan E = mc² (vaikkei ymmärräkään sen merkitystä).

Suppea suhteellisuusteoria perustuu kahteen pääperiaatteeseen:

• Kaikki liike on suhteellista. Havaitsija ei pysty fysikaalisella kokeella osoittamaan, onko hän levossa vai tasaisessa liikkeessä.
• Valon nopeus tyhjiössä on vakio havaitsijan ja valonlähteen liiketilasta riippumatta.

Toinen periaate voidaan yleistää käsittämään kaikkea sähkömagneettista säteilyä.

Liikkeen suhteellisuus tulee ilmi esimerkiksi tarkasteltaessa maapallon liikettä avaruudessa. Maapallo kulkee auringon ympärillä nopeudella 30 km/s, havaitsija (eli maan asukas) ei havaitse tätä liikettä.

Itse asiassa ensimmäinen periaate tarkoittaa sitä, ettei voida sanoa jonkin pisteen olevan absoluuttisesti paikallaan ja määrittää sen mukaan absoluuttista paikallaan pysyvää koordinaatistoa. Suhteellisuusteoriassa tapahtumia tarkastellaan kappaleiden omista koordinaatistoista käsin.

Nopeuden suhteellisuus

Suppea suhteellisuusteoria muutti monia arkipäivän ajattelutapoja. Esimerkiksi aiemmin oli käytössä nk. Galilei-muunnos, jossa kahden toisiaan kohti tulevan kappaleen välinen suhteellinen nopeus on näiden nopeuksien summa. Suppean suhteellisuusteorian toinen periaate kuitenkin kieltää tämän, sillä valonnopeuden on oltava vakio. Tästä seuraa, että kahden toisiaan vastaan kohtisuorasti liikkuvan kappaleen välinen suhteellinen nopeus onkin pienempi kuin Galilei-muunnoksella saatu arvo.

Einstein esitti nopeuksien yhdistämiselle kaavan,

$v={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+{\frac {v_{1}*v_{2}}{c^{2}}}}}$

missä v on kappaleiden välinen suhteellinen nopeus ja $v_{1}$ ja $v_{2}$ ovat kappaleiden nopeudet ja c valon nopeus.

Kun tutkitaan kaavalla saatavia tuloksia havaitaan, että nopeuden ollessa pieni (v << c), Galilei-muunnos pitää likimain paikkaansa. Nopeuksien lähestyessä valon nopeutta havaitaan kuitenkin että yhdistetty nopeus lähestyy valonnopeutta. Raja-arvotarkastelulla huomataan, että yhdistetyn nopeuden arvo lähenee valon nopeutta, kun nopeudet lähenevät valon nopeutta.

Vastaavasti nopeuden lähestyessä valonnopeutta myös muut suureet muuttuvat klassisen fysiikan periaatteiden vastaisesti. Pituus, aika ja liikemassa (kappaleen hitaus) muuttuvat selkeästi nopeuden kasvaessa lähelle valonnopeutta.

Ajan suhteellisuus (aikadilataatio)

Tarkastellaan ajan suhteellisuutta: kun kello liikkuu havaitsijaan nähden nopeudella v, niin jos kello on käynyt ajan $t_{0}$, niin ulkopuolisen havaitsijan mielestä kulunut aika t saadaan suhteellisuusteorian yhtälöstä

$t={\frac {t_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Jälleen havaitaan, että nopeuden ollessa pieni (v << c), molemmat havaitsijat kokevat ajan kulun käytännössä samalla tavalla. Kun nopeus alkaa lähentyä valon nopeutta, alkaa ero suurentua. Huomataan, että ulkopuolinen havaitsija havaitsee kuluneeksi ajaksi huomattavasti pidemmän ajan kuin liikkuva kappale. Raja-arvotarkastelulla huomataan, että suhde lähenee ääretöntä, kun nopeus lähenee valon nopeutta.. Tätä ilmiötä kutsutaan aikadilaatioksi.

Aikadilaatiota havainnollistaa Kaksosparadoksi kutsuttu ajatusleikki, jossa kaksosista toinen lähtee pitkälle avaruusmatkalle ja kulkee likimain valon nopeudella. Kun tämä matkaaja sitten myöhemmin palaa maahan, on hän nuorempi kuin hänen maahan jäänyt kaksoissisarensa. Tämä ilmiö on kokeellisesti osoitettu esimerkiksi lennättämällä lentokoneissa tarkkoja atomikelloja maapallon ympäri. Jokapäiväisessä elämässämme aikadilaatiota käytetään mm. GPS-satellittipaikannuksessa, jossa on huomioitava aikadilaatio maan ja kiertoradalla kulkevien satelliittien välillä.

Liikemassa

Niin kutsuttu liikemassa käyttäytyy samalla tavalla kuin aika: olkoon $m_{0}$ kappaleen lepomassa. Kun kappale kulkee nopeudella v (ulkopuoliseen havaitsijaan nähden), sen liikemassa on (ulkopuolisen havaitsijan mielestä) m seuraavan kaavan mukaan

$m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Huomataan, että kaava on samanlainen kuin aikadilaation tapauksessa. Siispä voidaan todeta, että nopeuden noustessa lähelle valon nopeutta liikemassa alkaa olemaan selkeästi suurempi kuin lepomassa.

Massa tarkoittaa hitauden mittaa (Newtonin II:n peruslain mukaisesti $F=ma$), joten kiihtyvyyden aikaansaamiseksi tarvittava voima suurenee kun nopeus suurenee (mitä klassisen fysiikan mukaan ei tapahdu). Raja-arvoa tutkittaessa huomataan, että liikemassa lähenee ääretöntä, kun nopeus lähenee valon nopeutta. Siispä nopeuden lähetessä valon nopeutta myös kiihtyvyyden aikaansaamiseksi tarvittava voima lähenee ääretöntä. Tämä on syy siihen, miksi massallinen kappale ei koskaan voi saavuttaa valon nopeutta (tai tarkemmin: massallista kappaletta ei voida kiihdyttää valon nopeuteen).

Käsite liikemassa on kuitenkin hieman ongelmallinen, sillä esimerkiksi tilanteessa, jossa nopeus on likimain valon nopeus, on kappaleen kiihdyttäminen sen liikesuuntaan huomattavasti vaikeampaa kuin esimerkiksi sen kiihdyttäminen sivusuunnassa. Einstein itse aikoinaan vastusti termin liikemassa käyttöä.

Pituus (Lorentz-kontraktio)

Aika ja massa siis muuttuvat nopeuden kasvaessa, mutta tässä ei ollut vielä kaikki. Lisäksi pituuden voidaan havaita muuttuvan nopeuden lähetessä valon nopeutta. Olkoon nopeudella v liikkuvan kappaleen "lepopituus" $l_{0}$. Tällöin tämä pituus on ulkopuolisen havaitsijan mielestä suhteellisuusteorian mukaan (liikesuunnassa):

$l=l_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

Havaitaan (kuten muissakin edellä tarkastelluissa tapauksissa), että selkeä muutos pituuden suhteessa lepopituuteen tapahtuu vasta nopeuden noustessa lähelle valon nopeutta. Raja-arvoa tutkittaessa huomataan, että nopeuden lähestyessä valon nopeutta pituus lähenee nollaa. Tätä ilmiötä kutsutaan Lorentz-kontraktioksi.

Käytännön esimerkki Lorentz-kontraktiosta ovat myonit, alkeishiukkaset joiden elinaika on noin 2,2µs (tämän jälkeen ne hajoavat elektroniksi, antineutriinoksi ja neutriinoksi). Myoneja muodostuu ilmakehän yläosissa noin 20 kilometrin korkeudessa kosmisen säteilyn osuessa ilmakehän yläosiin. Myonit syöksyvät kohti maata lähes valon nopeudella, jolloin niiden kokema matka liikesuunnassa (eli maan ilmakehän läpi) lyhenee, joten ne ehtivät kulkea "elinikänsä" aikana ilmakehän läpi (ja toisaalta nopeuden ollessa suuri niiden aika kuluu hitaammin).

Liikemäärän ja energian muunnokset

Klassisen fysiikan mukaan liikemäärän yhtälö on $p=mv$, mutta Einstein huomasi massan riippuvan nopeudesta, joten liikemäärä kasvaa nopeammin kuin nopeus. Tämä esitetään muodossa:

$p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Yhtälöstä nähdään, että kun $m$ poikkeaa 0:sta ja $v=c$, liikemäärä on ääretön. Tämä on mahdotonta, joten massallinen kappale ei voi saavuttaa valon nopeutta. Massaton kappale puolestaan kulkee aina valon nopeudella.

Suppean suhteellisuusteorian mukaan kappaleen liike-energia on

$E_{k}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)m{c^{2}}$

Hyvin suurilla nopeuksilla sekin poikkeaa paljon klassisen fysiikan liike-energiasta.