Klassinen mekaniikka

Klassisen mekaniikan eli Newtonin mekaniikan (mekaniikka ennen suhteellisuusteoriaa ja kvanttimekaniikkaa) osa-alueita ovat kinematiikka (oppi liikeilmiöistä), dynamiikka (liikeilmiöt sekä voimavaikutukset), sekä statiikka (kappaleiden tasapainoehdot). Yksityiskohtaisemmassa jaottelussa osa-alueisiin luetaan esim. massapistemekaniikka, lujuusoppi (elastisuus ja plastisuus) ja virtausmekaniikka.

Newton (tunnus N) on voima, joka tarvitaan yhden kilogramman suuruisen massan kiihdyttämiseen kiihtyvyydellä 1 m/s². Newton on SI-järjestelmässä voiman yksikkö. Se on nimetty Isaac Newtonin mukaan.

Maapallo vetää painovoimallaan puoleensa maanpinnalla olevaa 102-grammaista kappaletta noin newtonin voimalla.

Jos kappaleen vetämiseen kuluu joulen verran energiaa ja kappaletta vedetään metrin matka, käytettävä voima on newtonin suuruinen.

$1\,\operatorname {N} =1\,{\frac {\operatorname {kg} \cdot \operatorname {m} }{\operatorname {s} ^{2}}}=1\,{\frac {\operatorname {J} }{\operatorname {m} }}$

Kehittäjät

Sir Isaac Newton (25. joulukuuta 1642–20. maaliskuuta 1727) oli englantilainen fyysikko, matemaatikko, tähtitieteilijä, alkemisti ja filosofi. Hän loi perustan klassiselle mekaniikalle teoksessaan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica vuonna 1687. Principiassa Newton esitteli painovoima- ja liikelakinsa. Newtonia pidetään Gottfried Leibnizin ohella differentiaali- ja integraalilaskennan keksijänä.

Klassisen mekaniikan teorian kehittelyä jatkoivat 1700- ja 1800-luvuilla Joseph-Louis Lagrange ja William Rowan Hamilton, joiden kehittämässä mekaniikan esitystavassa valittiin perussuureeksi Newtonin mekaniikassa käytetyn voiman tilalle energia. Siirtyminen modernissa alkeishiukkasfysiikassa käytettyyn kvanttimekaniikkaan on huomattavasti helpompaa Hamiltonin energiaan perustuvasta mekaniikasta kuin aiemmasta voimiin perustuvasta teoriasta.

Uudempiin klassisen mekaniikan ilmiöihin, joita alettiin varsinaisesti ymmärtää vasta 1900-luvulla, kuuluvat kaaosteoria, pyörteiset nestevirtaukset ja fraktaaliset rakenteet (esim. särkyvän lasin tai keraamisen materiaalin murtumapinnat ovat matemaattisen fraktaalin kaltaisia). Näiden ilmiöiden tutkiminen kynällä ja paperilla tapahtuvan laskennan avulla on hyvin työlästä, ja siten siitä tuli mahdollista vasta tietokoneiden myötä.

Kinematiikka

Kinematiikan peruslakeja ovat matkan, nopeuden, vauhdin sekä kiihtyvyyden määrittelyt. Yksiulotteisessa liikkeessä kappaleen sijainti voidaan ilmoittaa yhdellä luvulla x, jolla on etäisyyden dimensiot (SI-yksikkö metri). Kolmiulotteisessa liikkeessä sijainti ilmaistaan paikkavektorilla $\mathbf {r}$, jonka komponentit ovat kappaleen x-, y- ja z-koordinaatit jossain koordinaatistossa (kaikki koordinaatistot ovat samanarvoisia, riippumatta siitä mihin niiden origo on asetettu ja minkä suuntaisia koordinaattiakselit ovat).

Nopeus, vauhti ja kiihtyvyys

Kappaleen nopeus v määritellään sijainnin aikaderivaattana, siis yksiulotteiselle liikkeelle

$v={\frac {dx(t)}{dt}}$ , ja moniulotteisessa liikkeessä

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k}$ .

Kappaleen vauhti on nopeuden suuruus, siis nopeusskalaarin v itseisarvo |v| tai nopeusvektorin $\mathbf {v}$ normi

$|\mathbf {v} |={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$ .

Kiihtyvyys $\mathbf {a}$ puolestaan on nopeuden aikaderivaatta:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$

Epäkarteesiset koordinaatistot ja ympyräliike

Kappaleen liike voidaan esittää myös muiden kuin karteesisten x-, y- ja z-koordinaattien avulla. Kaksiulotteisessa tasossa tapahtuvan liikkeen tapauksessa eräs vaihtoehtoinen esitystapa on napakoordinaatisto, jossa sijainti ilmoitetaan muuttujilla $r$, $\theta$ jotka määritellään yhtälöillä

$x=r\cos \theta$ , ja

$y=r\sin \theta$ .

Erityisen hyödyllisiä napakoordinaatit ovat esitettäessä ympyräliikettä, jossa $r$ pysyy vakiona ja $\theta$ muuttuu vakionopeudella. Tällöin x-, ja y-koordinaatit ovat ajan t funktiona

$x(t)=r\cos \left(\omega t+\delta \right)$

$y(t)=r\sin \left(\omega t+\delta \right)$,

jossa $\omega$ on ympyräliikkeen kulmanopeus ja $\delta$ vaihe. Ympyräliikkeessä, jossa kappaleen vauhti (tai kulmanopeus) ei muutu, kiihtyvyysvektori osoittaa koko ajan kappaleesta ympyräradan keskipisteeseen.

Tehtävä: Jos kappale kiertää origoa etäisyydellä $r$ ja kulmanopeudella $\omega$, mitä ovat kappaleen vauhti v ja kiihtyvyysvektorin normi $|\mathbf {a} |$ ?

Dynamiikka

Dynamiikan peruslakeja ovat voiman ja sen aiheuttaman kiihtyvyyden keskinäinen riippuvuus, jatkavuuden laki, sekä voiman ja vastavoiman laki.

Mekaniikan I peruslaki eli jatkavuuden laki (myös Newtonin I laki)

Newtonin ensimmäisen lain mukaan minkä tahansa kappaleen nopeus pysyy vakiona, ellei siihen vaikuta jokin voima. Yksiulotteisessa liikkeessä tämä merkitsee sitä, että paikkakoordinaatin x toinen aikaderivaatta on nolla:

${\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=0$ .

Jos liike tapahtuu useammassa, esim. kolmessa ulottuvuudessa, kappaleen sijainti ilmaistaan paikkavektorilla $\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}$ . Tässä $\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ ja $\mathbf {k}$ ovat x-, y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit. Jos kappaleeseen ei vaikuta mikään voima, on paikkavektorin jokaisen komponentin toinen aikaderivaatta nolla:

${\frac {d^{2}\mathbf {r} (t)}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}\mathbf {i} +{\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}\mathbf {j} +{\frac {d^{2}z(t)}{dt^{2}}}\mathbf {k} =0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +0\mathbf {k}$ .

Voimaa tarvitaan siis sekä nopeuden suuruuden että suunnan muuttamiseen. Kannattaa huomata, että vektoriarvoista funktiota $\mathbf {r} (t)$ derivoidessa vektorin jokainen komponentti derivoidaan erikseen saman muuttujan suhteen.

Newtonin ensimmäinen laki ei ole useimmille ihmisille intuitiivisesti itsestäänselvä, sillä maanpäällisessä arkielämässä syntyy helposti kuvitelma, että voimaa tarvitaan liikkeen ylläpitämiseen. Tämä mielikuva on seurausta siitä, että arkielämässä useimpiin kappaleisiin vaikuttaa erilaisia liikevastusvoimia, kuten ilmanvastus tai pintojen välinen kitka, jotka pysäyttävät liikkeelle laitetun kappaleen melko nopeasti.

Mekaniikan II peruslaki eli dynamiikan peruslaki (myös Newtonin II laki)

Newtonin II laki kertoo, miten voiman $\mathbf {F}$ vaikutus näkyy kappaleen liikkeessä. Voima on tämän lain mukaan yhtä suuri, kuin kappaleen liikemäärän $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ (massan ja nopeuden tulo) muutosnopeus:

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} (t)}{dt}}={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}}$ .

Yleensä kappaleiden massa pysyy vakiona, jolloin voidaan kirjoittaa

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} (t)}{dt^{2}}}$ .

Tapauksiin, joissa massa on ajan funktio, kuuluu esim. raketin liike, jossa massa pienenee polttoaineen kuluessa.

Tilanne, jossa kappaleeseen kohdistuu vakiovoima, sekä massa on vakio, on vuorovaikutusten erityistapaus. Tällöin kappaleen kiihtyvyys on vakio:

$\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}$.

Koska kiihtyvyys a yhdessä ulottuvuudessa on x-koordinaatin toinen derivaatta ajan t suhteen, saadaan kappaleen sijainti x(t) ratkaistua integroimalla kahdesti:

${\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}={\frac {F}{m}}$ ${\Big |}{\Big |}\int$

${\frac {dx(t)}{dt}}={\frac {Ft}{m}}+C$ ${\Big |}{\Big |}\int$

$x(t)={\frac {Ft^{2}}{2m}}+Ct+D$

missä C on kappaleen nopeus ja D sen sijainti hetkellä t=0. Jos liike on kolmiulotteista, on vakioiden F, C ja D ja muuttujan x tilalla vektorit $\mathbf {F}$, $\mathbf {C}$, $\mathbf {D}$ ja $\mathbf {x}$:

$\mathbf {x} (t)={\frac {\mathbf {F} t^{2}}{2m}}+\mathbf {C} t+\mathbf {D}$

Toinen tapaus, jossa liikeyhtälon $F=ma$ pystyy ratkaisemaan suoraan integroimalla, on tilanne jossa voima $F$ tiedetään ajan funktiona $F=F(t)$.

Tehtävä: Kappaleeseen, jonka massa on m, vaikuttaa ajasta riippuva voima, jonka suuruus on $F(t)=F_{0}\sin \left(\omega t\right)$. $F_{0}$ ja $\omega$ ovat vakioita. Laske kappaleen rata x(t), kun alkunopeus ja -sijainti ovat x(0)=0 ja v(0)=0.

Yleisemmässä tapauksessa kappaleeseen vaikuttavaa voimaa $F$ ei tiedetä suoraan ajan funktiona, vaan se on ilmoitettu esim. paikan x ja nopeuden v funktiona. Yksi esimerkki tällaisesta on vakiovoiman ajama liike, johon kohdistuu nopeuteen verrannollinen ilmanvastus:

$F=F_{const}-bv$ ,

jossa b on positiivinen vakio. Tällöin liikeyhtälö on funktion x(t) derivaattojen avulla kirjoitettuna

$m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=F_{const}-b{\frac {dx(t)}{dt}}$.

Tällaista ongelmaa kutsutaan differentiaaliyhtälöksi, eikä sitä pysty ratkaisemaan suoraan integroimalla yhtälön molempia puolia kahdesti. Toinen esimerkki tällaisesta tapauksesta on myöhemmin käsitelty harmoninen oskillaattori.

Tehtävä: Näytä sijoittamalla, että ylläolevan liikeyhtälön ratkaisu on $x(t)={\frac {Ft}{b}}-Ae^{-{\frac {bt}{m}}}+B$, missä A ja B ovat vakioita. Mitä nopeudelle tapahtuu, kun $t\rightarrow \infty$ ?

Filosofisesti tarkasteltuna ei ole aivan selvää, kuuluisiko Newtonin II lakia pitää varsinaisena luonnonlakina, vai onko se ennemminkin vain määritelmä sille, mitä "voima" tarkoittaa. Jos Newtonin II lakia pidetään määritelmänä, on klassisen mekaniikan teorian varsinainen sisältö muissa laeissa, kuten Newtonin III laissa ja gravitaatiolaissa, sekä sähköstatiikan Coulombin laissa. Tämänkaltaisia kysymyksiä oleellisempaa on kuitenkin se, että teoriassa esitetyt väitteet eivät ole ristiriidassa toistensa tai kokeellisten havaintojen kanssa.

Mekaniikan III peruslaki eli voiman ja vastavoiman laki (myös Newtonin III laki)

Jos kappale A vaikuttaa jollakin voimalla kappaleeseen B, vaikuttaa B A:han samansuuruisella mutta vastakkaissuuntaisella voimalla.

Tämä kuvaa mm. raketin periaatetta - kun raketista poistuu massaa taaksepäin, aiheutuu vastakkaissuuntainen rakettia eteenpäin työntävä voima.

• Voima ja vastavoima vaikuttavat aina eri kappaleisiin.
• Kaikilla voimilla on vastavoimat.

Galilein muunnos

Koska kiihtyvyys on kappaleen sijainnin toinen derivaatta ajan suhteen, ja voima on suoraan verrannollinen kiihtyvyyteen, ei kappaleen ratafunktion $\mathbf {r} (t)$ muuttaminen vakionopeudella $\mathbf {v}$ ja vakiosiirtymällä $\Delta \mathbf {r}$ vaikuta havaittuun kiihtyvyyteen:

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {r} (t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\mathbf {r} (t)+\mathbf {v} t+\Delta \mathbf {r} )$ .

Tällaista radan muuttamista kutsutaan Galilein muunnokseksi, ja se on Newtonin mekaniikassa pätevä versio liikkeen suhteellisuusperiaatteesta. Jos yksiulotteinen systeemi koostuu esim. kahdesta kappaleesta, joiden sijainnit x-akselilla ovat x₁(t) ja x₂(t), ja joiden toisiinsa kohdistama voima riippuu vain niiden välisestä etäisyydestä

$F_{12}=F_{12}(x_{1}-x_{2})$

$F_{21}=F_{12}(x_{2}-x_{1})=-F_{12}(x_{1}-x_{2})$,

on sama liikeyhtälö voimassa sekä radoille $x_{1}(t)$, $x_{2}(t)$, että Galilei-muunnetuille radoille

${\tilde {x}}_{1}(t)=x_{1}(t)+v_{x}t+\Delta x$

${\tilde {x}}_{2}(t)=x_{2}(t)+v_{x}t+\Delta x$ .

Liikeyhtälö ei kuitenkaan pysy samana Galilei-muunnoksessa, jos kappaleisiin vaikuttaa esim. nopeudesta riippuva liikevastusvoima, koska silloin liikevastuksen aiheuttavan väliaineen tai pinnan lepokoordinaatisto on erityisasemassa muihin koordinaatistoihin nähden.

Sähkömagneettisella vuorovaikutuksella on sellainen ominaisuus, että magneettiset voimat varattujen kappaleiden välillä riippuvat kappaleiden nopeuksista. Siten magneettinen vuorovaikutus ei ole Galilei-invariantti yllä esitetyllä tavalla. Tämä epäkohta oli historiallisesti yksi syistä, jotka johtivat suhteellisuusteorian kehittämiseen. Suhteellisuusteoriassa liikeyhtälöt pysyvät muuttumattomina ns. Lorentz-muunnoksissa, joiden ominaisuuksiin kuuluu että tapahtumien väliset etäisyydet ja aikavälit näyttävät eri suuruisilta eri nopeuksilla liikkuvien havaitsijoiden mielestä.

Statiikka

Statiikka tutkii kappaleiden tasapainoa. Etenemisen suhteen tasapainossa olevan kappaleen nopeus ei muutu ts. sen kiihtyvyys on nolla. Newtonin toisen lain mukaisesti tällöin kappaleeseen vaikuttavien voimien summa on nolla. Pyörimisen suhteen kappale on tasapainossa mikäli sen pyörimisnopeus ei muutu. Tällöin kappaleeseen vaikuttavien momenttien summa on nolla mielivaltaisen akselin suhteen. Momentti saadaan kertomalla keskenään voima ja sen vaikutussuoran lyhin etäisyys pyörimisakseliin nähden. $M=F*r$

Mekaaninen energia

Kineettinen energia

Kappaleelle, jonka massa on m ja paikkakoordinaatit x, y ja z, kineettinen energia hetkellä t määritellään

$E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\frac {dx(t)}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz(t)}{dt}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{2}}m\mathbf {|v|} ^{2}$ .

Kineettinen energia on siis verrannollinen vauhdin neliöön. Useista kappaleista koostuvan systeemin kineettinen energia saadaan laskemalla yhteen kunkin kappaleen kineettiset energiat.

Potentiaalienergia

Monessa tapauksessa kappaleeseen kohdistuva voima on kappaleen paikkakoordinaattien yksikäsitteinen funktio, tai usean kappaleen systeemissä kuhunkin kappaleeseen kohdistuva voima on jokin kappaleen itsensä ja toisten kappaleiden koordinaattien funktio.

Yhteen kappaleeseen vaikuttava voimakenttä $F(x,y,z)$ on konservatiivinen, jos on olemassa jokin funktio $E_{p}(x,y,z)$, jolle on voimassa

$\mathbf {F} (x,y,z)=-\nabla E_{p}(x,y,z)=-\left({\frac {dE_{p}}{dx}}\mathbf {i} +{\frac {dE_{p}}{dy}}\mathbf {j} +{\frac {dE_{p}}{dz}}\mathbf {k} \right)$ .

Funktiota $E_{p}(x,y,z)$ kutsutaan potentiaalienergiafunktioksi. Jos systeemissä taas on kaksi kappaletta, joiden paikkakoordinaatit ovat $(x_{1},y_{1},z_{1})$ ja $(x_{2},y_{2},z_{2})$, on voimakenttä $\mathbf {F} (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2})$ konservatiivinen jos jostain funktiosta $E_{p}(x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2})$ saadaan kappaleisiin vaikuttavat voimat $\mathbf {F} _{1}$, $\mathbf {F} _{2}$ laskemalla

$\mathbf {F} _{1}=-\nabla _{1}E_{p}(x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2})=-\left({\frac {dE_{p}}{dx_{1}}}\mathbf {i} +{\frac {dE_{p}}{dy_{1}}}\mathbf {j} +{\frac {dE_{p}}{dz_{1}}}\mathbf {k} \right)$

$\mathbf {F} _{2}=-\nabla _{2}E_{p}(x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2})=-\left({\frac {dE_{p}}{dx_{2}}}\mathbf {i} +{\frac {dE_{p}}{dy_{2}}}\mathbf {j} +{\frac {dE_{p}}{dz_{2}}}\mathbf {k} \right)$

Laajennus useamman kuin kahden kappaleen tapaukseen on hyvin suoraviivainen.

Energian säilyminen

Jos kappaleista koostuvan systeemin kaikki voimat ovat konservatiivisia, on voimassa energian säilyminen, mikä merkitsee että kineettisen ja potentiaalienergian summa on ajasta riippumaton vakio:

$E_{k}+E_{p}=vakio$ .

Energian säilyminen ei näennäisesti toteudu esim. ilmanvastuksen tai kitkan vaimentamassa liikkeessä, tai jos voimakentän $\mathbf {F} (x,y,z,t)$ lauseke sisältää eksplisiittisen riippuvuuden aikamuuttujasta t. Tällöin syynä on kuitenkin se, että kaikkia vapausasteita (esim. väliaineena olevan ilman happi- ja typpimolekyylien liiketilat) ei oteta huomioon systeemin mallinnuksessa. Myös sähköisesti varattujen kappaleiden liikkeessä saattaa energiaa näyttää pintapuolisesti "katoavan", ellei muisteta huomioida että kiihtyvä sähkövaraus säteilee sähkömagneettisia aaltoja (joilla on myös oma energiatiheytensä).

Lagrangen mekaniikka

Newtonin lakeihin perustuvassa mekaniikassa kappaleiden kiihtyvyydet pääteltiin niihin kohdistuvista voimista, joiden laskemiseen oli olemassa jokin tunnettu menetelmä. Toinen tapa esittää mekaniikan lait on Lagrangen mekaniikka, jossa voiman käsitettä ei tarvita lainkaan ja kaikki laskelmat tehdään energiasuureiden avulla. Lagrangen mekaniikan antamat tulokset ovat kuitenkin samoja, mitä voimiin perustuvilla menetelmillä saadaan.

Vapausasteet

Lagrangen mekaniikassa kappaleiden sijainnit annetaan yleistettyinä koordinaatteina $q_{i}$, joiden ei ole pakko olla karteesisia xyz-koordinaatteja. Esim. yhdessä ulottuvuudessa kulkevan massapisteen ainoa vapausaste on x-koordinaatti: $q_{1}=x$. Kolmessa ulottuvuudessa liikkuvan massapisteen vapausasteet taas ovat x-, y- ja z-koordinaatit: $q_{1}=x$, $q_{2}=y$, $q_{3}=z$.

Yksi esimerkki muista kuin karteesisista vapausasteista on tasolla liikkuvan massan sijainnin esitys napakoordinaateissa: $q_{1}=r$, $q_{2}=\theta$.

Vapausasteiden muutosnopeuksille käytetään Lagrangen mekaniikassa merkintöjä ${\frac {dq_{i}}{dt}}={\dot {q}}_{i}$.

Lagrangen funktio

Systeemille, jonka kineettinen ja potentiaalienergia ovat joitain vapausasteiden $q_{i}$ ja niiden muutosnopeuksien ${\dot {q}}_{i}$ funktioita, Lagrangen funktio $L$ määritellään

$L(q_{i},{\dot {q}}_{i})=E_{k}(q_{i},{\dot {q}}_{i})-E_{p}(q_{i},{\dot {q}}_{i})$ .

Esim. jos kappale, jonka massa on m, liikkuu xy-tasossa ja siihen vaikuttaa positiivisen y-akselin suuntainen vakiovoima $F_{y}$, on Lagrangen funktio

$L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {y}}^{2}+F_{y}y$ ,

sillä kineettinen energia on $E_{k}={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {y}}^{2}$ ja potentiaalienergia $E_{p}=-F_{y}y$.

Jos taas systeemissä on massapiste, joka on rajoitettu kiertämään kaksiulotteisen xy-koordinaatiston origoa etäisyydellä r, ja johon vaikuttaa negatiivisen y-akselin suuntainen voima $F_{y}$, voidaan ainoaksi vapausasteeksi valita napakulma $\theta$. Kulmakoordinaatin avulla esitetyt energiasuureet ovat:

$E_{k}={\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}$

$E_{p}=F_{y}r\sin \theta$ .

Lagrangen liikeyhtälöt

Kun Lagrangen funktio tiedetään, voidaan kullekin vapausasteelle $q_{i}$ laskea Lagrangen liikeyhtälöt, jotka ovat

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0$

Edellämainitussa kaksiulotteisessa tasossa liikkuvalle kappaleelle, johon vaikuttaa y-akselin suuntainen voima, liikeyhtälöiksi saadaan tästä

$m{\ddot {x}}=0$

$m{\ddot {y}}=F_{y}$ .

Ympyrän kehällä vakiovoimakentässä liikkuvalle massapisteelle puolestaan saadaan vapausasteen $\theta$ liikeyhtälö

$mr^{2}{\ddot {\theta }}=-F_{y}r\cos \theta$ .

Tehtävä: Pistemassa m liikkuu xy-tasossa siten että sen potentiaalienergia riippuu ainoastaan etäisyydestä origoon: $E_{p}={\frac {1}{2}}k(r-r_{0})^{2}$. Muodosta liikeyhtälöt vapausasteille $r$, $\theta$.

Tehtävä: Etsi jostain tietoa siitä, mikä on vaikutusintegraali ja mikä sen fysikaalinen merkitys on.

Lagrangen mekaniikan hyödyt

Mekaniikan laskuissa esiintyy usein ongelmia, joissa kappale on rajoitettu kulkemaan jollain pinnalla tai käyrällä ja siihen vaikuttavat sidosvoimat estävät sen pääsyn muihin pisteisiin. Yksi esimerkki on kappaleen liukuminen kaltevalla tasolla, jossa oletetaan että kappale ei voi upota alustaan. Monesti sidosvoimien laskenta voi kuitenkin olla vaivalloista, ja tällöin saattaa olla helpompaa määritellä systeemille yleistetyt vapausasteet siten että sidosehtojen vastaiset pisteet eivät edes ole mahdollisia, ja ratkaista sen jälkeen liikeyhtälöt Lagrangen mekaniikalla.

Determinismi

Koska klassisen mekaniikan liikeyhtälöt ovat toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä ajan suhteen, on periaatteessa mahdollista laskea eristetyn mekaanisen systeemin tilan aikakehitys mielivaltaisen pitkälle tulevaisuuteen, kunhan alkuehdot eli vapausasteet $q_{i}$ ja niiden muutosnopeudet ${\dot {q}}_{i}$, sekä vuorovaikutuslaeissa esiintyvät parametrit, tiedetään jollain alkuhetkellä tarkasti. Tätä kutsutaan klassisen mekaniikan determinismiksi.

Käytännössä useista kappaleista koostuvan systeemin aikakehitystä ei kuitenkaan ole käytännössä mahdollista ennakoida tällä tavalla, sillä pienetkin epätarkkuudet alkuehdoissa ja luonnonvakioiden (gravitaatiovakio, tyhjiön permittiivisyys...) tunnetuissa arvoissa voivat aiheuttaa yllättävän suuren virheen pidemmän aikavälin ennusteissa, jos systeemi on riittävän monimutkainen. Tätä ilmiötä kutsutaan nimellä deterministinen kaaos, ja se tulee esille muun muassa juoksevan aineen virtausilmiöissä kuten Maan ilmakehän sääilmiöissä ("perhosefekti").

Tehtävä: Etsi tietoa "perhosefektistä", ja selvitä pääpiirteittäin, mitä tarkoittaa Lyapunovin eksponentti.

Värähdysliike

Harmoninen oskillaattori

Yksinkertaisessa harmonisessa oskillaattorissa on yksi vapausaste x, joka voi olla esim. jousen venymä tasapainopituuteen nähden tai heilurin poikkeama tasapainoasemasta. Vapausasteeseen vaikuttaa palauttava voima, joka on suoraan verrannollinen muuttujaan x, mutta vastakkaismerkkinen:

$F=-kx$ .

Tällaista voiman riippuvuutta poikkeamasta kutsutaan Hooken laiksi, ja vakio k on Hooken vakio (yksikkö newton/metri). Laki voidaan ilmoittaa myös muodossa

$V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$,

jossa V(x) on oskillaattorin potentiaalienergia muuttujan x funktiona.

Koordinaatin x aikariippuvuus voidaan ratkaista differentiaaliyhtälöstä

$m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-kx(t)$

jonka ratkaisu on

$x(t)=A\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+B\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)$ .

Vakiot A ja B riippuvat vapausasteen x alkuarvosta x(0) ja alkunopeudesta x'(0) (funktion x(t) aikaderivaatta hetkellä t = 0) kaavojen

$A={\sqrt {\frac {m}{k}}}x'(0)$, $B=x(0)$

mukaisesti. Harmonisen oskillaattorin ratafunktio x(t) on siis sini/kosinifunktion tapainen.

Täysin ekvivalentti tapa esittää liikeyhtälön yleinen ratkaisu on

$x(t)=C\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t+\delta \right)$

jossa $C$ on amplitudi ja $\delta$ on vaihe.

Tehtävä: Kirjoita vakiot $C$ ja $\delta$ vakioiden $A$ ja $B$ funktiona. (vihje: yhteenlaskettujen kulmien trigonometriset kaavat)

Harmonisen oskillaattorin jaksonaika $T$ on

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$ ,

ja tämän merkitys on, että mille tahansa aikamuuttujan t arvolle on

$x(t+T)=x(t)$, ja $x'(t+T)=x'(t)$.

Monissa tilanteissa mekaanisia objekteja, kuten jousia tai heilureita voidaan mallintaa harmonisina oskillaattoreina, mikäli niiden venymät tai poikkeamat ovat riittävän pieniä. Esim. matemaattinen tai fysikaalinen heiluri on pienillä heilahdusamplitudeilla melko tarkasti harmonisen oskillaattorin tapainen, mutta suurempien amplitudien tapauksessa liikeradan ratkaiseminen on monimutkaisempaa, ja tällöin funktion x(t) esittämiseen tarvitaan trigonometrisia funktioita harminaisempaa erikoisfunktiota (elliptinen integraali).

Mikäli jokin fysikaalinen systeemi koostuu useista harmonisista oskillaattoreista, joilla on vapausasteet $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ ja joiden kaikkien väliset voimat riippuvat lineaarisesti niiden etäisyyksistä toisistaan, voidaan aina tehdä jako normaalimoodeihin, jolloin jotkin muuttujien $x_{i}$ lineaarikombinaatiot (vakioilla painotetut summat) noudattavat kukin riippumattomien harmonisten oskillaattoreiden liikeyhtälöitä. Tällaisella kytkettyjen harmonisten oskillaattorien mallilla voidaan laskea likimääräisesti esim. moniatomisten molekyylien värähtelytaajuuksia.

Useankaan kytketyn harmonisen oskillaattorin muodostamassa systeemissä ei esiinny aiemmin mainittua determinististä kaaosta, mutta epäharmonisilla värähtelijöillä (joilla voima ei ole venymän lineaarinen funktio) sellaista voi tapahtua.

Tehtävä: Kuvitellaan systeemi, jossa x-akselilla on jonossa kappaleita, joilla kaikilla on sama massa m, ja jotka kaikki on kytketty viereisiin kappaleisiin jousilla joiden tasapainopituus on L ja jousivakio k. Selvitä jostain lähteestä, mitä tekemistä tällä mallilla on kiinteiden aineiden fysiikan (condensed matter physics) kanssa. Mitä tarkoittaa fononi?

Vaimennettu harmoninen värähtely

Vaimennettuun harmoniseen oskillaattoriin vaikuttaa palauttavan voiman -kx lisäksi vaimennusvoima -bv, jossa v on värähtelijän hetkellinen nopeus ja b on vakio. Värähtelijän liikeyhtälö on siten

$m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-b{\frac {dx(t)}{dt}}-kx(t)$ .

Liikeyhtälö on edelleen toisen kertaluvun vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö, kuten vaimentamattoman värähtelijänkin liikeyhtälö oli, mutta sen ratkaisut ovat hieman monimutkaisempia. Heikon vaimennuksen tapauksessa, eli kun b on hyvin pieni ja yhden jaksonajan $T$ aikana tapahtuu vain vähän vaimennusta, on ratkaisu likimäärin

$x(t)=e^{-{\frac {bt}{2m}}}\left(A\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+B\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)\right)$,

eli värähtelyn amplitudi pienenee eksponentiaalisesti ajan funktiona. Vakiot A ja B riippuvat oskillaattorin alkunopeudesta ja -sijainnista samalla tavalla kuin vaimentamattomassa tapauksessa.

Vaimennusvoimien fysikaalinen alkuperä ovat yleensä erilaiset kitkavoimat, jotka muuttavat värähtelijän kineettistä energiaa lämpöenergiaksi.

Lagrangen mekaniikassa vaimennetun värähtelijän mallinnus on huomattavasti vaikeampaa, sillä liikevastusvoima ei ole konservatiivinen eikä siten säilytä mekaanista kokonaisenergiaa. Vaimennetun värähtelijän kaltainen liikeyhtälö voidaan kuitenkin saada näennäisesti aikaan esimerkiksi asettamalla Lagrangen funktiossa jousivakio k ja massa m kasvamaan eksponentiaalisesti ajan funktiona: $k(t)=k_{0}e^{bt/m_{0}}$, $m(t)=m_{0}e^{bt/m_{0}}$.

Tehtävä: Ilmoita parametrien b ja m avulla, kuinka kauan kestää että värähtelyamplitudi putoaa a) puoleen b) neljäsosaan c) kymmenesosaan alkuperäisestä ?

Tehtävä: Kuinka kauan kestää, että oskillaattorin kokonaisenergia (kineettinen + potentiaali) putoaa puoleen ?

Tehtävä: Osoita, että jos harmonisen oskillaattorin massa ja Hooken vakio kasvavat eksponentiaalisesti samalla nopeudella, Lagrangen liikeyhtälöön saadaan nopeuteen suoraan verrannollinen vaimennustermi.

Epäharmoniset värähtelijät

Epäharmonisella värähtelijällä palauttava voima ei ole venymän x lineaarinen funktio, vaan siinä esiintyy ensimmäistä astetta korkeampia x:n parittomia potensseja. Voima saattaa olla esim.

$F=-kx-\lambda x^{3}$ ,

jossa $k$ ja $\lambda$ ovat vakioita. Tällaisen värähtelijän liikeradan ratkaiseminen on huomattavasti vaikeampaa kuin Hooken lakia noudattavan, ja ratkaisuissa on trigonometrisiä funktioita harvinaisempia erikoisfunktioita.

Yllä mainittu palauttava voima kasvaa nopeammin kuin lineaarisesti x:n funktiona, mutta on myös mahdollista mallintaa värähtelijöitä joilla palauttava voima heikkenee kun venymä kasvaa riittävän suureksi. Tällä tavalla käyttäytyy muun muassa kemiallisten sidosten värähtelymekaniikan mallintamiseen käytetty Morsen potentiaali.