Lukion taulukot/Raja-arvoja

[muokkaa]

Määritelmä

Raja-arovn määritelmä on seuraava. Olkoon $f(x)$ määritelty reaaliluvuilla pisteen $x_{0}$ ympäristössä. Tällöin $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=a$ jos ja vain jos kaikille $\epsilon >0$ on olemassa $\delta >0$, jolle $|f(x_{0}+h)-a|<\epsilon$ kaikille $|h|<\delta$. Toisin sanottuna, funktion arvo saadaan mielivaltaisen lähelle raja-arvoa kaikilla pisteillä jotka ovat tarpeeksi lähellä pistettä $x_{0}$.

Raja-arvoja

1. $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{h\to 0}f(x_{0}+h)$
2. $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$
3. $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$
4. $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e\approx 2,718282$ (Neperin luku)
5. $\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\ln n)\approx 0,577216$ (Eulerin vakio)