Lukion taulukot/Vektorilaskenta

[muokkaa]

Vektorilaskenta

Olkoon ${\bar {\mathbf {a} }}=a_{x}{\bar {\mathbf {i} }}+a_{y}{\bar {\mathbf {j} }}+a_{z}{\bar {\mathbf {k} }},\ {\bar {\mathbf {b} }}=b_{x}{\bar {\mathbf {i} }}+b_{y}{\bar {\mathbf {j} }}+b_{z}{\bar {\mathbf {k} }}{\text{ ja }}{\bar {\mathbf {c} }}=c_{x}{\bar {\mathbf {i} }}+c_{y}{\bar {\mathbf {j} }}+c_{z}{\bar {\mathbf {k} }}$

1.	$|{\bar {\mathbf {a} }}|=|{\bar {\mathbf {a} }}\cdot {\bar {\mathbf {a} }}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$	${\bar {\mathbf {a} }}$:n pituus
2.	${\bar {\mathbf {a} }}^{\circ }={\frac {\bar {\mathbf {a} }}{|{\bar {\mathbf {a} }}|}}$	${\bar {\mathbf {a} }}$:n suuntainen yksikkövektori
3.	${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {a} }}={\bar {\mathbf {b} }}&\Leftrightarrow {\bar {\mathbf {a} }}\upuparrows {\bar {\mathbf {b} }}\land |{\bar {\mathbf {a} }}|=|{\bar {\mathbf {b} }}|\\&\Leftrightarrow (a_{x}=b_{x}\land a_{y}=b_{y}\land a_{z}=b_{z})\end{aligned}}$	${\bar {\mathbf {a} }}$ ja ${\bar {\mathbf {b} }}$ identtiset
4.	${\bar {\mathbf {b} }}=r{\bar {\mathbf {a} }}\quad ({\bar {\mathbf {a} }},{\bar {\mathbf {b} }}\neq {\bar {0}},r\neq 0)$	yhdensuuntaisuusehto
5.	${\bar {\mathbf {a} }}+{\bar {\mathbf {b} }}=(a_{x}+b_{x}){\bar {\mathbf {i} }}+(a_{y}+b_{y}){\bar {\mathbf {j} }}+(a_{z}+b_{z}){\bar {\mathbf {k} }}$	summavektori
6.	$r{\bar {\mathbf {a} }}=ra_{x}{\bar {\mathbf {i} }}+ra_{y}{\bar {\mathbf {j} }}+ra_{z}{\bar {\mathbf {k} }}$	vektorin ${\bar {\mathbf {a} }}$ kertominen luvulla $r$
7.	${\bar {\mathbf {a} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }}=|{\bar {\mathbf {a} }}||{\bar {\mathbf {b} }}|\cos({\bar {\mathbf {a} }},{\bar {\mathbf {b} }})=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$	piste- eli skalaaritulo
	${\bar {\mathbf {a} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }}=0\Leftrightarrow {\bar {\mathbf {a} }}\perp {\bar {\mathbf {b} }},({\bar {\mathbf {a} }},{\bar {\mathbf {b} }}\neq {\bar {0}})$	kohtisuoruusehto
	$\cos({\bar {\mathbf {a} }},{\bar {\mathbf {b} }})={\frac {{\bar {\mathbf {a} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }}}{|{\bar {\mathbf {a} }}||{\bar {\mathbf {b} }}|}}\;(0^{\circ }\leq ({\bar {\mathbf {a} }},{\bar {\mathbf {b} }})\leq 180^{\circ })$	${\bar {\mathbf {a} }}$:n ja ${\bar {\mathbf {b} }}$:n välisen kulman kosini
	$a_{b}={\frac {{\bar {\mathbf {a} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }}}{|{\bar {\mathbf {b} }}|}}$	${\bar {\mathbf {a} }}$:n skalaariprojektio ${\bar {\mathbf {b} }}$:llä
	${\bar {\mathbf {a} }}_{b}={\frac {{\bar {\mathbf {a} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }}}{{\bar {\mathbf {b} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }}}}{\bar {\mathbf {b} }}$	${\bar {\mathbf {a} }}$:n vektoriprojektio ${\bar {\mathbf {b} }}$:llä
8.	${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {a} }}\times {\bar {\mathbf {b} }}&=|{\bar {\mathbf {a} }}||{\bar {\mathbf {b} }}|\sin({\bar {\mathbf {a} }},{\bar {\mathbf {b} }}){\bar {\mathbf {e} }}={\begin{vmatrix}{\bar {\mathbf {i} }}&{\bar {\mathbf {j} }}&{\bar {\mathbf {k} }}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}{\bar {\mathbf {i} }}+{\begin{vmatrix}a_{z}&a_{x}\\b_{z}&b_{x}\end{vmatrix}}{\bar {\mathbf {j} }}+{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}{\bar {\mathbf {k} }}\end{aligned}}$	risti- eli vektoritulo
	${\bar {\mathbf {a} }}\times {\bar {\mathbf {b} }}={\bar {0}}\Leftrightarrow {\bar {\mathbf {a} }}\parallel {\bar {\mathbf {b} }}\;({\bar {\mathbf {a} }},{\bar {\mathbf {b} }}\neq {\bar {0}})$	yhdensuuntaisuusehto
	$A=|{\bar {\mathbf {a} }}\times {\bar {\mathbf {b} }}|$	$A$ on ${\bar {\mathbf {a} }}$:n ja ${\bar {\mathbf {b} }}$:n määräämän suunnikkaan ala
9.	${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {a} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }}\times {\bar {\mathbf {c} }}&={\bar {\mathbf {a} }}\times {\bar {\mathbf {b} }}\cdot {\bar {\mathbf {c} }}={\overline {\mathbf {abc} }}\\&={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$	skalaarikolmitulo
	$V=|{\overline {\mathbf {abc} }}|$	$V$ on ${\bar {\mathbf {a} }}$:n, ${\bar {\mathbf {b} }}$:n ja ${\bar {\mathbf {c} }}$:n määräämän särmiön tilavuus
	${\overline {\mathbf {abc} }}=0\quad ({\bar {\mathbf {a} }},{\bar {\mathbf {b} }},{\bar {\mathbf {c} }}\neq {\bar {0}})$	vektorit samassa tasossa
10.	${\begin{aligned}{\bar {\mathbf {a} }}\times ({\bar {\mathbf {b} }}\times {\bar {\mathbf {c} }})=({\bar {\mathbf {a} }}\cdot {\bar {\mathbf {c} }}){\bar {\mathbf {b} }}-({\bar {\mathbf {a} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }}){\bar {\mathbf {c} }}\\({\bar {\mathbf {a} }}\times {\bar {\mathbf {b} }})\times {\bar {\mathbf {c} }}=({\bar {\mathbf {a} }}\cdot {\bar {\mathbf {c} }}){\bar {\mathbf {b} }}-({\bar {\mathbf {b} }}\cdot {\bar {\mathbf {c} }}){\bar {\mathbf {a} }}\end{aligned}}$	vektorikolmitulo

Yleisillä vektoreilla Kroneckerin delta $\delta _{ij}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{cases}}$

ja Levi-Civita-symboli $\epsilon _{ijk}={\begin{cases}1,&(i,j,k)=(1,2,3){\text{ tai }}(2,3,1){\text{ tai }}(3,1,2)\\-1,&(i,j,k)=(3,2,1){\text{ tai }}(2,1,3){\text{ tai }}(1,3,2)\\0,&i=j{\text{ tai }}i=k{\text{ tai }}j=k\end{cases}}$

ovat hyödyllisiä.

Nyt voimme merkitä ${\bar {\mathbf {x} }}=\sum _{i}x_{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}$ ja ${\bar {\mathbf {y} }}=\sum _{i}y_{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}$, missä vektoreiden ulottuvuus voi olla mielivaltainen. Tällöin saamme seuraavat määritelmät aiemmille kaavoille:

3.	${\bar {\mathbf {x} }}={\bar {\mathbf {y} }}\Leftrightarrow x_{i}=y_{i}$, kaikille $i$	${\bar {\mathbf {x} }}$ ja ${\bar {\mathbf {y} }}$ identtiset
5.	${\bar {\mathbf {x} }}+{\bar {\mathbf {y} }}=\sum _{i}(x_{i}+y_{i}){\bar {\mathbf {e} }}_{i}$	summavektori
6.	$r{\bar {\mathbf {x} }}=\sum _{i}rx_{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}$	vektorin ${\bar {\mathbf {x} }}$ kertominen luvulla $r$
7.	${\bar {\mathbf {x} }}\cdot {\bar {\mathbf {y} }}=\sum _{i}\sum _{j}x_{i}y_{j}\delta _{ij}=\sum _{i}x_{i}y_{i}$	piste- eli skalaaritulo
8.	${\bar {\mathbf {x} }}\times {\bar {\mathbf {y} }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}x_{i}y_{j}\epsilon _{ijk}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}$	risti- eli vektoritulo. Määritelty ainoastaan kolmiulotteisilla vektoreilla.