Tässä luvussa käsitellään differentiaaliyhtälöitä, joissa esiintyy funktioiden korkeintaan ensimmäisiä derivaattoja. Luvussa esitellään erityyppiset differentiaaliyhtälöt, niiden ratkaisukaavat sekä esimerkkejä. Lisäksi otetaan kantaa ratkaisuiden olemassaoloon ja yksikäsitteisyyteen.
Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa vastaan tulee yleensä kahdenlaisia tehtäviä. Jotta ratkaisusta voisi saada täydet pisteet, tulee noudattaa seuraavia ohjeita:
- Ratkaise differentiaaliyhtälö
tarkoittaa sitä, että on etsittävä kaikki derivoituvat funktiot
, jotka toteuttavat annetun DY:n. Ratkaisuja on yleensä äärettömän monta, mikä johtuu lähes aina integrointivakion mielivaltaisesta valinnasta. Ts. vastaukseksi haetaan yleistä yhtälöä, ei erikoistapausta.

- tarkoittaa sitä, että on etsittävä jokin derivoituva funktio
, joka toteuttaa annetun DY:n sekä alkuehdon. Ratkaisuna olevan funktion määrittelyvälissä
voi olla pieni tai suuri luku. Määrittelyjoukon on oltava avoin väli, sillä funktion derivoituvuus on määritelty aina avoimella välillä. Huomaa, että määrittelyjoukon ei tarvitse olla äärellinen väli. Myös positiivinen ja negatiivinen ääretön voivat olla välin avoimia päätepisteitä. Jos ratkaisu on olemassa, se on yksikäsitteinen.
Ratkaistaan alkuarvotehtävä
Ensimmäisenä selvitetään yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle. Tässä vaiheessa käytössämme ei vielä ole kummoisia työkaluja. DY:n kummankin puolen integrointi johtaa umpikujaan, mutta ratkaisu voidaan aina yrittää arvata! Tehdään sivistynyt arvaus[1], että
, jolloin
Esimerkki 1: Ratkaisu on funktio
![{\textstyle x:\,]0,\infty [\,\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2de69b6236f34640d6eca105e36ad706e4435d2)
,

.
Ja kuinka ollakaan, arvattu ratkaisu toteuttaa annetun DY:n! Mutta emme saa unohtaa integrointivakiota! Jos arvattuun ratkaisuun summataan mikä tahansa vakio, toteuttaa myös tämä funktio DY:n. Siis yleinen ratkaisu on
, missä
on vakio. Seuraavaksi käytetään alkuehtoa, jotta alkuarvotehtävä toteutuisi. Sijoitetaan yleiseen ratkaisuun
, eli:
Integrointivakio on ratkaistu, joten jäljelle jää enää päätellä vastauksena olevan funktion määrittelyjoukko (väli). Funktio
on määritelty joukossa
, mutta tämä joukko ei ole väli vaan kahden avoimen välin yhdiste.[2] Valitaan määrittelyjoukoksi
, sillä se sisältää alkuehdon määräämän pisteen (
).
Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio
,
.
Ensimmäisen kertaluvun DY on lineaarinen, jos se on muotoa
,
missä
ovat jatkuvia funktioita.
Esimerkiksi differentiaaliyhtälö
on lineaarinen. Huomaa, että funktioiden
ja
ei tarvitse olla lineaarisia.[3]
Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen DY on homogeeninen, jos
.
Esimerkiksi differentiaaliyhtälö
on homogeeninen, mutta
ei ole.
Määritelmä 3: vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen DY on vakiokertoiminen, jos funktiot
ja
ovat vakioita.
Esimerkiksi differentiaaliyhtälö
on vakiokertoiminen.
Kaikki ensimmäisen kertaluvun DY:t eivät suinkaan osu em. kategorioihin. Lisäksi DY voi olla homogeeninen ja vakiokertoiminen yhtä aikaa. Tämä onkin yksinkertaisin vastaan tuleva differentiaaliyhtälö.
Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen, homogeeninen, vakiokertoiminen DY ratkaistaan seuraavasti:[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Ko. differentiaaliyhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa
,
- missä
on vakio. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa pätee sama kuin tavallisten yhtälöidenkin: yhtälön kummankin puolen voi kertoa tai jakaa millä tahansa nollasta eroavalla luvulla tai funktiolla. Tiedetään, että funktio
kaikilla
.[4] Näin ollen DY voidaan kertoa puolittain tällä eksponenttifunktiolla:

- Kolmannella rivillä käytettiin tulon derivointisääntöä.[5] Neljäs rivi seuraa kolmannesta suoraan integroimalla yhtälön kumpikin puoli (integrointivakiota
unohtamatta!). Siis lineaarisen, homogeenisen, vakiokertoimisen DY:n kaikki ratkaisut ovat muotoa
. Tästä huomataan, että ratkaisuja on äärettömän monta, koska vakio
on mielivaltainen reaaliluku.
Ratkaistaan differentiaaliyhtälö
. Edellä johdetun kaavan perusteella ratkaisu saadaan sijoittamalla kaavaan
:
,
missä
on vakio.
Lineaarinen, homogeeninen, vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö on helpoimmin ratkaistavissa oleva 1. kertaluvun DY. Se ei kuitenkaan vielä riitä suurimpaan osaan lineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Tarkastellaan seuraavaksi, miten ratkaistaan astetta monimutkaisempi DY.
Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen, homogeeninen DY ratkaistaan seuraavasti:[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Ko. differentiaaliyhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa
.
- Määritellään aluksi apufunktio (jatkuvan) funktion
määrätyn integraalin avulla:
,
.[6]
- Derivoidaan apufunktio[7]:

- DY ratkeaa kertomalla se puolittain apufunktiolla:

- Kolmannella rivillä käytettiin jälleen tulon derivointisääntöä. Siis lineaarisen, vakiokertoimisen DY:n kaikki ratkaisut ovat muotoa
.
Apufunktiota
kutsutaan ko. differentiaaliyhtälön integroivaksi tekijäksi.
Ratkaistaan differentiaaliyhtälö
. Edellä johdetun kaavan perusteella ratkaisu saadaan sijoittamalla kaavaan
. Ratkaistaan ensin integraali:
Nyt voidaan sijoittaa saatu tulos integroivaan tekijään ja saadaan ratkaisu:
,
missä
on vakio.
Integroiva tekijä voidaan ilmaista muissakin muodoissa eksponenttifunktioiden ja integraalien laskusäännöistä johtuen:
- Vakiolla kertominen; integroivaksi tekijäksi kelpaa

- millä tahansa
,
.
Todistus
|
Olkoon integroiva tekijä . Tällöin
.
Kerrotaan DY integroivalla tekijällä:
Loput välivaiheet etenevät kuten edellä.
Q.E.D.
|
- Integrointivälin voi muuttaa. Integroivaksi tekijäksi kelpaa

- millä tahansa
.
Todistus
|
Olkoon integroiva tekijä . Toisaalta määrätyn integraalin laskusääntöjen nojalla:
Tällöin
Loput todistuksesta nojaa edelliseen kohtaan (vakiolla kertominen).
Q.E.D.
|
Entäpä sitten, jos DY ei olekaan homogeeninen?
Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen, yleinen DY ratkaistaan seuraavasti:[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- Kuten määritelmässä 1 todettiin, ko. differentiaaliyhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa
.
- Ratkaisussa käytetään samaa apufunktiota (eli integroivaa tekijää) kuin homogeenisen DY:n ratkaisussa:

- Kerrotaan DY puolittain integroivalla tekijällä, jolloin päädytään lopulta ratkaisuun:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'(t)+p(t)x(t)&=q(t)\qquad ||\cdot \mu (t)~(>0~\forall ~t\in \mathbb {R} )\\\mu (t)x'(t)+\underbrace {\mu (t)p(t)} _{=\mu '(t)}x(t)&=\mu (t)q(t)\\\mu (t)x'(t)+\mu '(t)x(t)&=\mu (t)q(t)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mu (t)x(t)\right)&=\mu (t)q(t)\\\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\left(\mu (s)x(s)\right)\,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{t}\mu (s)q(s)\,\mathrm {d} s\\\mu (t)x(t)-\underbrace {\mu (0)x(0)} _{=C(={\text{vakio}})}&=\int _{0}^{t}\mu (s)q(s)\,\mathrm {d} s\qquad ||+C\\\mu (t)x(t)&=\int _{0}^{t}\mu (s)q(s)\,\mathrm {d} s+C\qquad ||:\mu (t)\\x(t)&={\frac {1}{\mu (t)}}\left[\int _{0}^{t}\mu (s)q(s)\,\mathrm {d} s+C\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5078f397af05f605c5c0ffc71f5fbb40492a2b9)
- Neljännellä rivillä käytettiin jälleen kerran tulon derivointisääntöä. Huomaa, että yhtälön integroiminen (määrätysti) puolittain ei ''hävitä'' derivaattaa![8] Integroiva tekijä liittyy siis yleiseen ratkaisuun kahdessa eri kohdassa. Ratkaisu on hyvin määritelty, sillä funktiot
ja
ovat jatkuvia, joten niiden tulo on myös jatkuvana funktiona kaikkialla integroituva.
Ratkaistaan differentiaaliyhtälö
. Selvitetään ensimmäisenä integroiva tekijä. Edellä johdetun kaavan nojalla pitää sijoittaa
ja
:
DY:n ratkaisu on tällöin:
Valitettavasti ratkaisu pysähtyy tähän, sillä integraalilla
ei ole olemassa analyyttistä ratkaisua. Näin ollen vastaus täytyy jättää tähän muotoon.
Jos
ja
ovat jatkuvia vain jollain välillä
, niin DY:n ratkaisu saadaan samalla kaavalla. Jos
ovat jatkuvia ja
, niin alkuarvotehtävällä
on tasan yksi ratkaisu
, joka on muotoa
,
missä
ja
.
Lauseen 1 todistus
|
Koska
,
niin
Toisaalta . Tämä on ainoa ratkaisu, sillä kaikki DY:n ratkaisut ovat muotoa
.
Ehdosta seuraa, että .
Q.E.D.
|
Ratkaistaan DY
alkuehdolla a)
b)
. HUOM! nyt on koko tehtävän ajan
.
Kirjoitetaan DY muodossa
,
.[9]
Integroiva tekijä on tällöin:
Kerrotaan muokattu DY integroivalla tekijällä:
Siis yleinen ratkaisu on
,
, missä
.
Esimerkki 5: alkuarvotehtävän ratkaisu voi riippua hyvinkin voimakkaasti annetusta alkuehdosta.
a) Sijoitetaan ratkaisuun
:
Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio
,
.
b) Sijoitetaan ratkaisuun
:
Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio
,
.
HUOM! Esimerkissä 5 esiintyvä vakio
on peräisin määrätyn integraalin alarajasta.[8] Yhtä hyvin voidaan tehdä seuraavasti:
Nyt ratkaisun riippuvuus alkuehdosta tulee helpommin näkyviin.
Ensimmäinen erikoistapaus epälineaarisissa differentiaaliyhtälöissä on separoituva DY. Tarkastellaan pelkästään normaalimuotoisia DY:itä:
,
sillä yleiselle yhtälölle ei ole olemassa eksplisiittistä ratkaisua joitain erikoistapauksia lukuunottamatta.
Ensimmäisen kertaluvun DY on separoituva, jos se on muotoa
missä
ovat jatkuvia funktioita.
Esimerkiksi differentiaaliyhtälö
on separoituva. Myös kaikki lineaariset, homogeeniset DY:t ovat separoituvia:
- Jos
kaikilla
, niin separoituva DY voidaan kirjoittaa muodossa
(1)
- (Vastaavat päätelmät pätevät myös, jos
kaikilla
). DY:n separointi perustuu derivaatan merkitsemiseen Leibnizin merkintätapaa, jota on jo joissain yhteyksissä käytettykin:

- Tällöin:

(2)
- Resepti yhtälön (1) ratkaisemiseksi on:
- Kirjoita yhtälö (1) muodossa (2).
- Integroi (2). Muista integrointivakiot!
- Ratkaise
integroidusta kaavasta (2).
Ratkaistaan alkuarvotehtävä
Differentiaaliyhtälö on separoituva:
ja
. Tiedetään, että
ja jatkuva kaikilla
(ei kannata valita aluetta
, sillä
ei voi toteuttaa alkuehtoa). Ratkaistaan DY:
Käytetään alkuehtoa: kun
, niin
. Sijoitetaan tämä tieto viimeiselle riville:
. Nyt voidaan johtaa DY:n yleinen ratkaisu:
Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi eri juurta. Mutta kumpi niistä määrittelee ratkaisun? Muistetaan, että alussa oletettiin
. Näin ollen juuri
ei kelpaa. Toisaalta helpompi tapa on käyttää alkuehtoa. Sijoitetaan
ja
ja katsotaan, kumpi juurista toteuttaa yhtälön. Jos kumpikaan ei toteuta yhtälöä, on 2. asteen yhtälö todennäköisesti ratkaistu väärin.
Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio
,
.
Ratkaistaan alkuarvotehtävä
Differentiaaliyhtälö on separoituva:
ja
. Tiedetään, että
ja jatkuva kaikilla
(alkuehto!). Ratkaistaan DY:
Alkuehto: kun
, niin
. Tällöin
. DY:n yleinen ratkaisu on tällöin
. Tällä yhtälöllä ei ole eksplisiittistä ratkaisua.
Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio
,
.
Olkoon
ja
jatkuvasti derivoituvia[10] funktioita sekä
ja
. Tällöin alkuarvotehtävällä
on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu, joka on määritelty välillä
jollain
. Tällöin:
- Jos
, niin ratkaisu on vakiofunktio
.
- Jos
, niin ratkaisu voidaan selvittää yhtälöstä
. (
)
Olemassaolon todistus
|
Yhtälö ( ) määrittelee funktion. Oletetaan, että kaikilla . Tällöin funktio ,
on jatkuvasti derivoituva ja
.
Näin ollen :lla on olemassa käänteisfunktio . Yhtälö ( ) voidaan kirjoittaa myös muodossa:
Tällöin
,
missä . Yhtälön ( ) määrittelemä funktio ratkaisee DY:n: derivoidaan ( ) puolittain :n suhteen[11]:
Q.E.D.
|
Yksikäsitteisyys todistetaan myöhemmin.
Tarkastellaan yhtälöä
, (
)
missä
on funktio siten, että yhtälö (
) määrittelee
:n
:n funktiona. Luonnontieteissä tämän muotoinen yhtälö on usein jonkin suureen säilymislaki. Derivoidaan yhtälö (
) puolittain
:n suhteen[12]:
Merkitään osittaisderivaattoja seuraavasti:
ja
Tällöin saadaan differentiaaliyhtälö, joka on muotoa
.
Ts. jos
on tämän DY:n ratkaisu ja on olemassa funktio
siten, että
(
)
toteutuu, niin
saadaan kaavasta (
).
Olkoon
ja
jatkuvia funktioita. DY
on eksakti, jos on olemassa funktio
, joka toteuttaa ehdon (
). Tämän DY:n ratkaisu toteuttaa yhtälön (
) jollekin vakiolle
.
HUOM! Jos on olemassa kaksi funktiota,
ja
, jotka toteuttavat ehdon (
), niin ne ovat vakiota vaille samat. Ts.
kaikilla
, jollekin
.
Jokainen separoituva DY on myös eksakti: Olkoon
siten, että
. Merkitään:
ja valitaan
Tällöin
Ratkaistaan DY
.
Havaitaan, että
ja
.
Siis DY on eksakti ja
. DY:n ratkaisu on
, missä
on vakio:
Vastaus: DY:n ratkaisu on funktio
,
, missä
on vakio.
Seuraavan lauseen avulla voidaan todeta helposti ja nopeasti, onko annettu DY eksakti:
Olkoon
ja
. Tällöin differentiaaliyhtälö
on eksakti, jos ja vain, jos
(
)
kaikilla
. Funktio
ratkeaa ehdosta
(
)
Lauseen 3 todistus
|
'' ''[13] Näin määritelty funktio  on kahden polkuintegraalin summa. Polut ovat  ja  . Oletetaan, että yhtälö ( ) on tosi. On osoitettava, että on olemassa funktio , joka toteuttaa ehdot ( ). Olkoon . Määritellään funktio ,
.
Tällöin (koska ) sekä
ja
Näin määritelty funktio toteuttaa ehdot ( ).
'' ''
Oletetaan, että DY on eksakti. Tällöin määritelmän 5 mukaisesti on olemassa funktio , joka toteuttaa ehdot ( ). Mutta, koska , niin :n täytyy olla myös kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva :ssä. Tällöin:
Q.E.D.
|
HUOM! On tärkeää, että alue
on yhdesti yhtenäinen, eli että siinä ei ole reikiä.
Ratkaistaan DY
.
Merkitään
ja
. Koska
,
niin lauseen 3 nojalla DY on eksakti. Tällöin on olemassa funktio
siten, että
Integroidaan yhtälö (1) puolittain
:n suhteen:
Funktio
on mielivaltainen, vain muuttujasta
riippuva funktio.[14] Osittaisderivoidaan saatu yhtälö puolittain
:n suhteen:
Yhtälön (2) nojalla on oltava
, eli
, missä
on vakio. DY:n ratkaisu saadaan kaavasta:
,
missä
on vakio. Tällä yhtälöllä ei ole eksplisiittistä ratkaisua.
Vastaus: DY:n ratkaisu on funktio
,
.
Yleinen, normaalimuotoinen alkuarvotehtävä
osataan ratkaista eksplisiittisesti vain jossain erikoistapauksissa (pääasiassa, kun
on lineaarinen). Tässä luvussa osoitetaan, että alkuarvotehtävällä on kuitenkin olemassa yksikäsitteinen ratkaisu jollain avoimella välillä
.
Olkoon
ja
,
siten, että
kaikilla
. Tällöin alkuarvotehtävällä
on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu kaikilla
.
HUOM! Oletus
on välttämätön ehto yksikäsitteisyyden toteutumiselle. Esimerkiksi alkuarvotehtävän
(
:n osittaisderivaatta
:n suhteen ei ole jatkuva origossa) ratkaisu on funktio
,
mutta niin on myös funktio
,
.
Ennen lauseen 4 todistusta käydään läpi tärkeä menetelmä ja lemma, joita tarvitaan todistuksessa.
Lauseen 4 olemassaolo-osion todisukseksi riittää löytää jatkuva funktio
siten, että
kaikilla
. Tämä ratkaisu löydetään nk. Picardin iteraatiolla, joka etenee seuraavasti:
- approksimaatio: Valitaan
,
. Tämä funktio ei arvatenkaan toteuta (
):ä, mutta sillä on jo oikea alkuarvo.
- approksimaatio: Valitaan
,
.
- approksimaatio: Valitaan
,
.
- Jatketaan approksimaatioita siten, että jos
, niin
,
.
Saadaan funktiojono
. Merkitään
. Jäljelle jää kaksi avointa kysymystä:
- Suppeneeko funktiojono
?
- Toteuttaako rajafunktio
ehdon (
)?
Palataan näiden kysymysten pariin itse todistuksen yhteydessä seuraavan esimerkin jälkeen.
Ratkaistaan alkuarvotehtävä
käyttäen Picardin iteraatiota. Itse asiassa tämä DY osattaisiin ratkaista jo helpommillakin menetelmillä, sillä DY on lineaarinen, homogeeninen ja vakiokertoiminen. Iteroidaan kuitenkin esimerkin vuoksi. Nyt
,
.




Huomataan, että iteraatiot näyttäisivät olevan muotoa
,
kun
. Todistetaan tämä induktiotodistuksella. Väite pätee 1. iteraation perusteella, kun
. Oletetaan, että väite on tosi, kun
. Kun
, niin Picardin iteraatio sanoo:
Väite on siis tosi. Funktiojono
onkin siis funktiosarja
.
Mutta suppeneeko funktiosarja ja jos suppenee, niin mihin? Funktiosarja suppenee tasaisesti kaikilla
, jos se suppenee tasaisesti lokaalisti välillä
kaikilla
. Weierstrassin ehdon[15] perusteella tämä pitää paikkansa:
Merkitään
. Tällöin:
Sarja
suppenee suhdetestin perusteella:[16]
,
kun
. Alkuarvotehtävän ratkaisu on siis
. Tämä on kuitenkin vain eksponenttifunktion
Taylorin sarjakehitelmä.
Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio
,
.
Lauseen 4 olemassaolo-osion todistus
|
Picardin iteraatiota käyttäen riittää osoittaa, että funktiojono suppenee lokaalisti tasaisesti ja että rajafunktio toteuttaa ehdon ( ).
Osoitetaan, että suppenee lokaalisti tasaisesti, eli suppenee tasaisesti välillä , missä . Picardin iteraatiota tarkastelemalla havaitaan, että
Käytetään suppenemisen osoittamiseen Weierstrassin M-testiä[15] ja suhdetestiä.[16] Osoitetaan induktiotodistuksella, että
kaikilla .
Perusaskel: (täydennettävä).
Induktio-oletus: Oletetaan, että väite on tosi jollekin .
Induktioaskel: Yläviitteet: V.A.L. = väliarvolause[17] ja huomautus[18], ind.ol. = induktio-oletus
Suhdetestin perusteella sarja suppenee:
Näin ollen
suppenee tasaisesti :ssä. Siispä on jatkuva ja toteuttaa yhtälön
Q.E.D.
|
Ratkaisun olemassaolo on nyt osoitettu. Yksikäsitteisyyden osoittamiseen tarvitsemme seuraavaa lemmaa:
Olkoon
,
,
,
ja
siten, että
. Tällöin
kaikilla
.
Lemman 1 todistus
|
Oletetaan, että kaikilla . Tällöin
ja
.
Tällöin
Jos , niin toistetaan edellinen päättely funktiolle , missä . Tällöin
.
Väite seuraa, kun .
Jos , niin toistetaan edellinen päättely funktiolle , jolloin väite seuraa, kuten edellä.
Q.E.D.
|
Lauseen 4 yksikäsitteisyysosion todistus
|
Olkoon alkuarvotehtävän ratkaisuja, jolloin . Määritellään uusi funktio , .
Tällöin (yläviite: V.A.L. = väliarvolause[17] ja huomautus[18])
Lemman 1 nojalla
Kaikilla . Näin ollen
Siis ratkaisut ovat samat.
Q.E.D.
|
- ↑ Sivistynyt arvaus kuulostaa kieltämättä joltakin ''jumalaiselta väliintulolta'', mutta niitä oppii kyllä jokainen tekemään ajan kanssa.
- ↑
- ↑ Funktio
on lineaarinen, jos on olemassa reaaliset vakiot
ja
siten, että
.
- ↑ Ks. Eksponenttifunktio.
- ↑ Jos
ja
ovat derivoituvia funktioita, niin:
- ↑ Kyseessä on itse asiassa integraalifunktio, sillä funktion muuttuja on sijoitettu määrätyn integraalin rajoihin. Funktion
muuttuja on vaihdettu
:stä
:ksi sekaannuksen välttämiseksi.
- ↑ Analyysin peruslauseen nojalla välillä
jatkuvalle funktiolle
pätee
kaikilla
.
- ↑ 8,0 8,1 Analyysin peruslause (tai oikeammin 2. peruslause) toteaa myös, että kaikille välillä
derivoituville funktioille
pätee:
- ↑ Muokkaamalla alkuperäistä DY:tä menetetään mahdollisuus, että
. Näin ollen joudutaan valitsemaan ratkaisun määrittelyjoukoksi
tai jokin sen osaväli.
- ↑ Jatkuvasti derivoituva tarkoittaa funktiota, joka on derivoituva ja sen derivaatta on jatkuva. Jatkossa (yhden kerran) jatkuvasti derivoituvien yhden reaalimuuttujan funktioiden joukkoa merkitään symbolilla
.
- ↑ Muistetaan yhdistetyn funktion derivointisääntö:
- ↑ Koska
on tässä kahden muuttujan funktio, täytyy derivoinnissa soveltaa ketjusääntöä:
- ↑ ''Jos ja vain jos'' -lause täytyy aina todistaa kumpaankin suuntaan. Oletukset ja väite vaihtavat paikkoja suunnan muuttuessa.
- ↑ Funktio
on ikään kuin osittaisderivaatan määrätyn integraalin integroimisvakio:
- ↑ 15,0 15,1 Weierstrassin M-testi: Olkoon funktiosarja
,
. Jos on olemassa luvut
siten, että
kaikilla
ja sarja
suppenee, niin funktiosarja
suppenee tasaisesti.
- ↑ 16,0 16,1 Suhdetesti: Sarja
suppenee, jos
.
- ↑ 17,0 17,1 Differentiaalilaskennan väliarvolauseen seuraus:
, joten kaikilla
,
ja
on olemassa
siten, että
.
- ↑ 18,0 18,1 Väliarvolauseen nojalla
.
Toisaalta lauseen 4 oletusten perusteella
kaikilla
, erityisesti pisteessä
. Näin ollen
kaikilla
,
.