Differentiaaliyhtälöt/Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Wikikirjastosta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun


Differentiaaliyhtälöt 75%.svg
Differential equation.svg

Johdanto75%.svg | Johdatus differentiaaliyhtälöihin 75%.svg | Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Lisää esimerkkejä 25%.svg (muokkaa)

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tässä luvussa käsitellään differentiaaliyhtälöitä, joissa esiintyy funktioiden korkeintaan ensimmäisiä derivaattoja. Luvussa esitellään erityyppiset differentiaaliyhtälöt, niiden ratkaisukaavat sekä esimerkkejä. Lisäksi otetaan kantaa ratkaisuiden olemassaoloon ja yksikäsitteisyyteen.

Terminologiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa vastaan tulee yleensä kahdenlaisia tehtäviä. Jotta ratkaisusta voisi saada täydet pisteet, tulee noudattaa seuraavia ohjeita:

  • Ratkaise differentiaaliyhtälö tarkoittaa sitä, että on etsittävä kaikki derivoituvat funktiot , jotka toteuttavat annetun DY:n. Ratkaisuja on yleensä äärettömän monta, mikä johtuu lähes aina integrointivakion mielivaltaisesta valinnasta. Ts. vastaukseksi haetaan yleistä yhtälöä, ei erikoistapausta.
  • Ratkaise alkuarvotehtävä
tarkoittaa sitä, että on etsittävä jokin derivoituva funktio , joka toteuttaa annetun DY:n sekä alkuehdon. Ratkaisuna olevan funktion määrittelyvälissä voi olla pieni tai suuri luku. Määrittelyjoukon on oltava avoin väli, sillä funktion derivoituvuus on määritelty aina avoimella välillä. Huomaa, että määrittelyjoukon ei tarvitse olla äärellinen väli. Myös positiivinen ja negatiivinen ääretön voivat olla välin avoimia päätepisteitä. Jos ratkaisu on olemassa, se on yksikäsitteinen.

Esimerkki 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan alkuarvotehtävä

Ensimmäisenä selvitetään yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle. Tässä vaiheessa käytössämme ei vielä ole kummoisia työkaluja. DY:n kummankin puolen integrointi johtaa umpikujaan, mutta ratkaisu voidaan aina yrittää arvata! Tehdään sivistynyt arvaus[1], että , jolloin

Esimerkki 1: Ratkaisu on funktio ,

.

Ja kuinka ollakaan, arvattu ratkaisu toteuttaa annetun DY:n! Mutta emme saa unohtaa integrointivakiota! Jos arvattuun ratkaisuun summataan mikä tahansa vakio, toteuttaa myös tämä funktio DY:n. Siis yleinen ratkaisu on , missä on vakio. Seuraavaksi käytetään alkuehtoa, jotta alkuarvotehtävä toteutuisi. Sijoitetaan yleiseen ratkaisuun , eli:

Integrointivakio on ratkaistu, joten jäljelle jää enää päätellä vastauksena olevan funktion määrittelyjoukko (väli). Funktio on määritelty joukossa , mutta tämä joukko ei ole väli vaan kahden avoimen välin yhdiste.[2] Valitaan määrittelyjoukoksi , sillä se sisältää alkuehdon määräämän pisteen ().

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio , .

Lineaariset differentiaaliyhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritelmä 1: lineaarinen differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäisen kertaluvun DY on lineaarinen, jos se on muotoa

,

missä ovat jatkuvia funktioita.

Esimerkiksi differentiaaliyhtälö on lineaarinen. Huomaa, että funktioiden ja ei tarvitse olla lineaarisia.[3]

Määritelmä 2: homogeeninen differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen DY on homogeeninen, jos .

Esimerkiksi differentiaaliyhtälö on homogeeninen, mutta ei ole.

Määritelmä 3: vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen DY on vakiokertoiminen, jos funktiot ja ovat vakioita.

Esimerkiksi differentiaaliyhtälö on vakiokertoiminen.

Kaikki ensimmäisen kertaluvun DY:t eivät suinkaan osu em. kategorioihin. Lisäksi DY voi olla homogeeninen ja vakiokertoiminen yhtä aikaa. Tämä onkin yksinkertaisin vastaan tuleva differentiaaliyhtälö.

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen, homogeeninen, vakiokertoiminen DY ratkaistaan seuraavasti:[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ko. differentiaaliyhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa
,
missä on vakio. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisussa pätee sama kuin tavallisten yhtälöidenkin: yhtälön kummankin puolen voi kertoa tai jakaa millä tahansa nollasta eroavalla luvulla tai funktiolla. Tiedetään, että funktio kaikilla .[4] Näin ollen DY voidaan kertoa puolittain tällä eksponenttifunktiolla:
Kolmannella rivillä käytettiin tulon derivointisääntöä.[5] Neljäs rivi seuraa kolmannesta suoraan integroimalla yhtälön kumpikin puoli (integrointivakiota unohtamatta!). Siis lineaarisen, homogeenisen, vakiokertoimisen DY:n kaikki ratkaisut ovat muotoa . Tästä huomataan, että ratkaisuja on äärettömän monta, koska vakio on mielivaltainen reaaliluku.

Esimerkki 2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö . Edellä johdetun kaavan perusteella ratkaisu saadaan sijoittamalla kaavaan :

,

missä on vakio.

Lineaarinen, homogeeninen, vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö on helpoimmin ratkaistavissa oleva 1. kertaluvun DY. Se ei kuitenkaan vielä riitä suurimpaan osaan lineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Tarkastellaan seuraavaksi, miten ratkaistaan astetta monimutkaisempi DY.

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen, homogeeninen DY ratkaistaan seuraavasti:[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ko. differentiaaliyhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa
.
Määritellään aluksi apufunktio (jatkuvan) funktion määrätyn integraalin avulla: ,
.[6]
Derivoidaan apufunktio[7]:
DY ratkeaa kertomalla se puolittain apufunktiolla:
Kolmannella rivillä käytettiin jälleen tulon derivointisääntöä. Siis lineaarisen, vakiokertoimisen DY:n kaikki ratkaisut ovat muotoa .

Apufunktiota kutsutaan ko. differentiaaliyhtälön integroivaksi tekijäksi.

Esimerkki 3[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö . Edellä johdetun kaavan perusteella ratkaisu saadaan sijoittamalla kaavaan . Ratkaistaan ensin integraali:

Nyt voidaan sijoittaa saatu tulos integroivaan tekijään ja saadaan ratkaisu:

,

missä on vakio.

Integroiva tekijä voidaan ilmaista muissakin muodoissa eksponenttifunktioiden ja integraalien laskusäännöistä johtuen:

  • Vakiolla kertominen; integroivaksi tekijäksi kelpaa
millä tahansa , .
  • Integrointivälin voi muuttaa. Integroivaksi tekijäksi kelpaa
millä tahansa .

Entäpä sitten, jos DY ei olekaan homogeeninen?

Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen, yleinen DY ratkaistaan seuraavasti:[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kuten määritelmässä 1 todettiin, ko. differentiaaliyhtälö voidaan aina kirjoittaa muodossa
.
Ratkaisussa käytetään samaa apufunktiota (eli integroivaa tekijää) kuin homogeenisen DY:n ratkaisussa:
Kerrotaan DY puolittain integroivalla tekijällä, jolloin päädytään lopulta ratkaisuun:
Neljännellä rivillä käytettiin jälleen kerran tulon derivointisääntöä. Huomaa, että yhtälön integroiminen (määrätysti) puolittain ei ''hävitä'' derivaattaa![8] Integroiva tekijä liittyy siis yleiseen ratkaisuun kahdessa eri kohdassa. Ratkaisu on hyvin määritelty, sillä funktiot ja ovat jatkuvia, joten niiden tulo on myös jatkuvana funktiona kaikkialla integroituva.

Esimerkki 4[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö . Selvitetään ensimmäisenä integroiva tekijä. Edellä johdetun kaavan nojalla pitää sijoittaa ja :

DY:n ratkaisu on tällöin:

Valitettavasti ratkaisu pysähtyy tähän, sillä integraalilla ei ole olemassa analyyttistä ratkaisua. Näin ollen vastaus täytyy jättää tähän muotoon.

Lause 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos ja ovat jatkuvia vain jollain välillä , niin DY:n ratkaisu saadaan samalla kaavalla. Jos ovat jatkuvia ja , niin alkuarvotehtävällä

on tasan yksi ratkaisu , joka on muotoa

,

missä ja .

Esimerkki 5[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan DY alkuehdolla a) b) . HUOM! nyt on koko tehtävän ajan .

Kirjoitetaan DY muodossa

, .[9]

Integroiva tekijä on tällöin:

Kerrotaan muokattu DY integroivalla tekijällä:

Siis yleinen ratkaisu on , , missä .

Esimerkki 5: alkuarvotehtävän ratkaisu voi riippua hyvinkin voimakkaasti annetusta alkuehdosta.

a) Sijoitetaan ratkaisuun :

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio , .

b) Sijoitetaan ratkaisuun :

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio , .

HUOM! Esimerkissä 5 esiintyvä vakio on peräisin määrätyn integraalin alarajasta.[8] Yhtä hyvin voidaan tehdä seuraavasti:

Nyt ratkaisun riippuvuus alkuehdosta tulee helpommin näkyviin.

Separoituvat differentiaaliyhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäinen erikoistapaus epälineaarisissa differentiaaliyhtälöissä on separoituva DY. Tarkastellaan pelkästään normaalimuotoisia DY:itä:

,

sillä yleiselle yhtälölle ei ole olemassa eksplisiittistä ratkaisua joitain erikoistapauksia lukuunottamatta.

Määritelmä 4: separoituva differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäisen kertaluvun DY on separoituva, jos se on muotoa

missä ovat jatkuvia funktioita.

Esimerkiksi differentiaaliyhtälö on separoituva. Myös kaikki lineaariset, homogeeniset DY:t ovat separoituvia:

Separoituva DY ratkaistaan seuraavasti:[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos kaikilla , niin separoituva DY voidaan kirjoittaa muodossa
(1)
(Vastaavat päätelmät pätevät myös, jos kaikilla ). DY:n separointi perustuu derivaatan merkitsemiseen Leibnizin merkintätapaa, jota on jo joissain yhteyksissä käytettykin:
Tällöin:
(2)
Resepti yhtälön (1) ratkaisemiseksi on:
  1. Kirjoita yhtälö (1) muodossa (2).
  2. Integroi (2). Muista integrointivakiot!
  3. Ratkaise integroidusta kaavasta (2).

Esimerkki 6[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan alkuarvotehtävä

Differentiaaliyhtälö on separoituva: ja . Tiedetään, että ja jatkuva kaikilla (ei kannata valita aluetta , sillä ei voi toteuttaa alkuehtoa). Ratkaistaan DY:

Käytetään alkuehtoa: kun , niin . Sijoitetaan tämä tieto viimeiselle riville: . Nyt voidaan johtaa DY:n yleinen ratkaisu:

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi eri juurta. Mutta kumpi niistä määrittelee ratkaisun? Muistetaan, että alussa oletettiin . Näin ollen juuri ei kelpaa. Toisaalta helpompi tapa on käyttää alkuehtoa. Sijoitetaan ja ja katsotaan, kumpi juurista toteuttaa yhtälön. Jos kumpikaan ei toteuta yhtälöä, on 2. asteen yhtälö todennäköisesti ratkaistu väärin.

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio , .

Esimerkki 7[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan alkuarvotehtävä

Differentiaaliyhtälö on separoituva: ja . Tiedetään, että ja jatkuva kaikilla (alkuehto!). Ratkaistaan DY:

Alkuehto: kun , niin . Tällöin . DY:n yleinen ratkaisu on tällöin . Tällä yhtälöllä ei ole eksplisiittistä ratkaisua.

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio , .

Lause 2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon ja jatkuvasti derivoituvia[10] funktioita sekä ja . Tällöin alkuarvotehtävällä

on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu, joka on määritelty välillä jollain . Tällöin:

  1. Jos , niin ratkaisu on vakiofunktio .
  2. Jos , niin ratkaisu voidaan selvittää yhtälöstä
. ()

Yksikäsitteisyys todistetaan myöhemmin.

Eksaktit differentiaaliyhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan yhtälöä

, ()

missä on funktio siten, että yhtälö () määrittelee :n :n funktiona. Luonnontieteissä tämän muotoinen yhtälö on usein jonkin suureen säilymislaki. Derivoidaan yhtälö () puolittain :n suhteen[12]:

Merkitään osittaisderivaattoja seuraavasti:

ja

Tällöin saadaan differentiaaliyhtälö, joka on muotoa

.

Ts. jos on tämän DY:n ratkaisu ja on olemassa funktio siten, että

()

toteutuu, niin saadaan kaavasta ().

Määritelmä 5: eksakti differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon ja jatkuvia funktioita. DY

on eksakti, jos on olemassa funktio , joka toteuttaa ehdon (). Tämän DY:n ratkaisu toteuttaa yhtälön () jollekin vakiolle .

HUOM! Jos on olemassa kaksi funktiota, ja , jotka toteuttavat ehdon (), niin ne ovat vakiota vaille samat. Ts. kaikilla , jollekin .

Jokainen separoituva DY on myös eksakti: Olkoon siten, että . Merkitään:

ja valitaan

Tällöin

Esimerkki 8[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan DY .

Havaitaan, että

ja .

Siis DY on eksakti ja . DY:n ratkaisu on , missä on vakio:

Vastaus: DY:n ratkaisu on funktio , , missä on vakio.

Seuraavan lauseen avulla voidaan todeta helposti ja nopeasti, onko annettu DY eksakti:

Lause 3[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon ja . Tällöin differentiaaliyhtälö on eksakti, jos ja vain, jos

()

kaikilla . Funktio ratkeaa ehdosta

()

HUOM! On tärkeää, että alue on yhdesti yhtenäinen, eli että siinä ei ole reikiä.

Esimerkki 9[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan DY .

Merkitään ja . Koska

,

niin lauseen 3 nojalla DY on eksakti. Tällöin on olemassa funktio siten, että

Integroidaan yhtälö (1) puolittain :n suhteen:

Funktio on mielivaltainen, vain muuttujasta riippuva funktio.[14] Osittaisderivoidaan saatu yhtälö puolittain :n suhteen:

Yhtälön (2) nojalla on oltava , eli , missä on vakio. DY:n ratkaisu saadaan kaavasta:

,

missä on vakio. Tällä yhtälöllä ei ole eksplisiittistä ratkaisua.

Vastaus: DY:n ratkaisu on funktio , .

Ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yleinen, normaalimuotoinen alkuarvotehtävä

osataan ratkaista eksplisiittisesti vain jossain erikoistapauksissa (pääasiassa, kun on lineaarinen). Tässä luvussa osoitetaan, että alkuarvotehtävällä on kuitenkin olemassa yksikäsitteinen ratkaisu jollain avoimella välillä .

Lause 4[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon ja , siten, että

kaikilla . Tällöin alkuarvotehtävällä

on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu kaikilla .

HUOM! Oletus on välttämätön ehto yksikäsitteisyyden toteutumiselle. Esimerkiksi alkuarvotehtävän

(:n osittaisderivaatta :n suhteen ei ole jatkuva origossa) ratkaisu on funktio ,

mutta niin on myös funktio , .

Ennen lauseen 4 todistusta käydään läpi tärkeä menetelmä ja lemma, joita tarvitaan todistuksessa.

Picardin iteraatio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lauseen 4 olemassaolo-osion todisukseksi riittää löytää jatkuva funktio siten, että

kaikilla . Tämä ratkaisu löydetään nk. Picardin iteraatiolla, joka etenee seuraavasti:

  1. approksimaatio: Valitaan , . Tämä funktio ei arvatenkaan toteuta ():ä, mutta sillä on jo oikea alkuarvo.
  2. approksimaatio: Valitaan , .
  3. approksimaatio: Valitaan , .
  4. Jatketaan approksimaatioita siten, että jos , niin , .

Saadaan funktiojono . Merkitään . Jäljelle jää kaksi avointa kysymystä:

  1. Suppeneeko funktiojono ?
  2. Toteuttaako rajafunktio ehdon ()?

Palataan näiden kysymysten pariin itse todistuksen yhteydessä seuraavan esimerkin jälkeen.

Esimerkki 10[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan alkuarvotehtävä

käyttäen Picardin iteraatiota. Itse asiassa tämä DY osattaisiin ratkaista jo helpommillakin menetelmillä, sillä DY on lineaarinen, homogeeninen ja vakiokertoiminen. Iteroidaan kuitenkin esimerkin vuoksi. Nyt , .

Huomataan, että iteraatiot näyttäisivät olevan muotoa

,

kun . Todistetaan tämä induktiotodistuksella. Väite pätee 1. iteraation perusteella, kun . Oletetaan, että väite on tosi, kun . Kun , niin Picardin iteraatio sanoo:

Väite on siis tosi. Funktiojono onkin siis funktiosarja

.

Mutta suppeneeko funktiosarja ja jos suppenee, niin mihin? Funktiosarja suppenee tasaisesti kaikilla , jos se suppenee tasaisesti lokaalisti välillä kaikilla . Weierstrassin ehdon[15] perusteella tämä pitää paikkansa:

Merkitään . Tällöin:

Sarja suppenee suhdetestin perusteella:[16]

,

kun . Alkuarvotehtävän ratkaisu on siis . Tämä on kuitenkin vain eksponenttifunktion Taylorin sarjakehitelmä.

Vastaus: Alkuarvotehtävän ratkaisu on funktio , .


Lemma 1 (Grönwallin lemma)[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaisun olemassaolo on nyt osoitettu. Yksikäsitteisyyden osoittamiseen tarvitsemme seuraavaa lemmaa:

Olkoon , , , ja siten, että . Tällöin

kaikilla .

Alaviitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Sivistynyt arvaus kuulostaa kieltämättä joltakin ''jumalaiselta väliintulolta'', mutta niitä oppii kyllä jokainen tekemään ajan kanssa.
  2. Funktio on lineaarinen, jos on olemassa reaaliset vakiot ja siten, että .
  3. Ks. Eksponenttifunktio.
  4. Jos ja ovat derivoituvia funktioita, niin:
  5. Kyseessä on itse asiassa integraalifunktio, sillä funktion muuttuja on sijoitettu määrätyn integraalin rajoihin. Funktion muuttuja on vaihdettu :stä :ksi sekaannuksen välttämiseksi.
  6. Analyysin peruslauseen nojalla välillä jatkuvalle funktiolle pätee kaikilla .
  7. 8,0 8,1 Analyysin peruslause (tai oikeammin 2. peruslause) toteaa myös, että kaikille välillä derivoituville funktioille pätee:
  8. Muokkaamalla alkuperäistä DY:tä menetetään mahdollisuus, että . Näin ollen joudutaan valitsemaan ratkaisun määrittelyjoukoksi tai jokin sen osaväli.
  9. Jatkuvasti derivoituva tarkoittaa funktiota, joka on derivoituva ja sen derivaatta on jatkuva. Jatkossa (yhden kerran) jatkuvasti derivoituvien yhden reaalimuuttujan funktioiden joukkoa merkitään symbolilla .
  10. Muistetaan yhdistetyn funktion derivointisääntö:
  11. Koska on tässä kahden muuttujan funktio, täytyy derivoinnissa soveltaa ketjusääntöä:
  12. ''Jos ja vain jos'' -lause täytyy aina todistaa kumpaankin suuntaan. Oletukset ja väite vaihtavat paikkoja suunnan muuttuessa.
  13. Funktio on ikään kuin osittaisderivaatan määrätyn integraalin integroimisvakio:
  14. 15,0 15,1 Weierstrassin M-testi: Olkoon funktiosarja , . Jos on olemassa luvut siten, että kaikilla ja sarja suppenee, niin funktiosarja suppenee tasaisesti.
  15. 16,0 16,1 Suhdetesti: Sarja suppenee, jos .
  16. 17,0 17,1 Differentiaalilaskennan väliarvolauseen seuraus: , joten kaikilla , ja on olemassa siten, että .
  17. 18,0 18,1 Väliarvolauseen nojalla . Toisaalta lauseen 4 oletusten perusteella kaikilla , erityisesti pisteessä . Näin ollen kaikilla , .


Differentiaaliyhtälöt 75%.svg
Differential equation.svg

Johdanto75%.svg | Johdatus differentiaaliyhtälöihin 75%.svg | Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Lisää esimerkkejä 25%.svg (muokkaa)