Differentiaaliyhtälöt/Johdatus differentiaaliyhtälöihin

Wikikirjastosta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun


Differentiaaliyhtälöt 75%.svg
Differential equation.svg

Johdanto75%.svg | Johdatus differentiaaliyhtälöihin 75%.svg | Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Lisää esimerkkejä 25%.svg (muokkaa)

Johdatus differentiaaliyhtälöihin 75%.svg   [muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

» Tiili painaa kilon ja puoli tiiltä. Paljonko tiili painaa? »
(Matemaattinen arvoitus)

Edellä oleva arvoitus lienee monelle tuttu ja on jollain tapaa jopa ärsyttävä: Miten tiilen massa voi riippua sen omasta massasta? Jossain vaiheessa opintoja saatiin työkalu tämän arvoituksen ratkaisemiseen: yhtälö. Sama arvoitus kirjoitettuna matematiikaksi on:

,

missä on tiilen paino (tai oikeammin massa, jos ollaan fysikaalisesti tarkkoja). Yhtälö on varsin nopeasti ratkaistu, ja tuloskin tiilen painolle saadaan: (kg). Meillä siis on jo käytössä työkalut, joilla voidaan selvittää suureen arvo, kun suure riippuu itsestään jopa edellistä monimutkaisemmilla tavoilla. Mutta mitä tehdään, jos laskettavan tai mitattavan suureen arvo muuttuu esimerkiksi ajan kuluessa ja suure itse riippuu omasta muutoksestaan ajan suhteen? Tavallinen yhtälönratkaisu ei ole enää riittävä työkalu.

Differentiaaliyhtälö (jatkossa myös lyhennettynä DY) on yhtälö, jossa esiintyy yhden reaalimuuttujan[1] tuntemattoman funktion lisäksi kyseisen funktion derivaattoja. Jatkossa tullaan käyttämään yleisesti reaalimuuttujana kirjainta (joka voi symboloida aikaa tai mitä tahansa muuta muuttujaa) ja tuntemattomana funktiona , ellei toisin mainita. Differentiaaliyhtälöitä ovat esimerkiksi:

ja

,

joista jälkimmäinen tunnetaan – hieman eri tavoin muotoiltuna – Newtonin 2. lakina. Tämä yhtälö kuvaa vakiomassaisen kappaleen yksiulotteista liikettä voimakentän vaikutuksessa.

Kertausta: Muistetaan, että jos kappaleen paikka ajan funktiona on , niin sen nopeus on ja kiihtyvyys on .

Kappaleeseen vaikuttava voima voi riippua ajasta (esim. kappaleen liikettä aletaan jarruttaa tietyn ajan kuluttua lähdöstä), paikasta (esim. kappale törmää tietyn etäisyyden päässä olevaan seinään), nopeudesta (esim. ilmanvastus) tai useammasta näistä yhtä aikaa. Avainasiana on se, että lopulta kaikki riippuu vain ajasta, eli alkuperäisestä muuttujasta .

Esimerkki 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan vapaasti putoavan -massaisen kappaleen etäisyys lähtötasosta, kun se putoaa vapaasti (ilman vastusvoimia) painovoimakentässä, joka on (ajasta riippumaton). Newtonin 2. lain[2] nojalla kappaleen kiihtyvyys (eli paikan toinen derivaatta ajan suhteen) on:

.

Tämä DY on helppo ratkaista. Riittää, että integroidaan yhtälö puolittain kahteen kertaan muuttujana :

Integrointivakioiden ja fysikaalinen tulkinta on kappaleen alkuvauhti ja -korkeus.

Yhtälön on ratkaistu, sillä suure riippuu vain muuttujasta , muttei enää itsestään tai derivaatoistaan. Ratkaisussa esiintyvät ja ovat integrointivakioita[3], joita ei sovi missään tapauksessa unohtaa! Joissain tulevissa tapauksissa integrointivakiot voidaan olettaa nolliksi, mutta siihen saakka on turvallisinta kirjoittaa ne aina näkyviin, kun integroidaan. Jos tarkkoja ollaan, niin yhtälön molempien puolien integroiminen tuottaa kaksi integrointivakiota – yksi kummastakin itegraalista. Koska kyseessä on kuitenkin mielivaltaiset vakiot, ne kannattaa ''yhdistää'' ja kirjoittaa vain integroidun yhtälön toiselle puolelle. Edellisessä yhtälöketjussa tämä tarkoittaa käytännössä tätä:

Yhtälön eri puolten integrointivakiot kannattaa siis yhdistää integroinnin jälkeen, jotta käsiteltäväksi jää paljon vähemmän vakioita.

Ratkaisuun jäävät vakiot ja (tai ja ) ovat periaatteessa mielivaltaisia, mutta tehtävää ajatellen niille voidaan antaa merkitys tai arvo. Fyysikoille lienee tuttu kaava tasaisesti puotavan kappaleen paikasta ajan suhteen:

,

missä on kappaleen vauhti ja sen paikka kellon käynnistyessä. Ei ole tietenkään sattumaa, että ratkaisemamme DY on sama kuin tämä tunnettu tulos. Voidaan siis päätellä, että ratkaisussamme vakio kuvaa kappaleen vauhtia ja sen etäisyyttä lähtöasemasta sillä hetkellä, kun parametri ''lähti juoksemaan''.

Terminologiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on aina muotoa
oleva funktio. Normaalimuodossa DY on muotoa
.

HUOM! DY ei välttämättä ole normaalimuodossa. Esimerkiksi yhtälöä ei voi esittää normaalimuodossa (eksplisiittisesti[4]).

  • Ensimmäisen kertaluvun alkuarvotehtävä on yhtälöpari

Ylempi yhtälöistä on ensimmäisen kertaluvun DY ja alempi on ns. alkuehto, joka asettaa rajoitteet ratkaistun DY:n integrointivakiolle. Esimerkissä 1 oltaisiin voitu antaa alkuehdot, jotka kertovat kappaleen lähtökorkeuden (vakio ) ja lähtönopeuden (vakio ) asettamalla esimerkiksi, että ja . Ensimmäisen kertaluvun alkuarvotehtävällä on vain yksi alkuehto.

  • Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on aina muotoa
oleva funktio. Normaalimuodossaan DY on muotoa
.
  • Toisen kertaluvun alkuarvotehtävä on yhtälöryhmä

Toisen kertaluvun alkuarvotehtävällä on aina kaksi alkuehtoa.

Määritelmä 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos funktio on lineaarinen :n, :n ja :n suhteen[5].

Yleisesti ottaen ensimmäisen kertaluvun DY:t ovat helpommin ratkaistavissa kuin toisen kertaluvun ja lineaariset DY:t ovat helpompia ratkaista kuin epälineaariset.

Esimerkki 2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matemaattinen heiluri koostuu lähes massattoman tangon tai langan päähän ripustetusta pistemäisestä kappaleesta.

Tarkastellaan kattoon ripustettua matemaattista heiluria (ks. oheinen kuva). Ajanhetkellä heiluri muodostaa pystytason kanssa kulman . Olkoon heilurin langan pituus ja langan päässä olevan punnuksen massa (voidaan olettaa, että langan massa on merkityksettömän pieni punnuksen massaan nähden). Fyysikoiden tuntemien, suhteellisten helppojen välivaiheiden avulla voidaan kirjoittaa heilurin liikeyhtälö heilahduskulman avulla:

,

missä on putoamiskiihtyvyys. Tämä DY ei ole lineaarinen termistä johtuen. Vaikka DY kuvaakin suhteellisen yksinkertaisen kappaleen liikettä, ei sillä epälineaarisuudestaan johtuen ole olemassa analyyttistä ratkaisua! Emme kuitenkaan heitä vielä kirvestä kaivoon. Työkalupakissa on menetelmä nimeltään linearisointi.

Linearisointi tarkoittaa sitä, että differentiaaliyhtälön epälineaarisia osia approksimoidaan eli arvioidaan jollain tarkkuudella lineaarisilla termeillä. Tämä voidaan tehdä usealla tavalla, esimerkiksi sarjakehitelmien avulla. Heilurin yhtälön tapauksessa tyydytään tekemmän linearisointi nk. pienen kulman approksimaatiolla:

Pienen kulman approksimaatio

,

joka on pätevä heilahduskulmille (radiaania). Linearisoidaan heilahduskulmaa kuvaava differentiaaliyhtälö sijoittamalla . Sekaannuksen välttämiseksi merkitään linearisoidun DY:n heilahduskulmaa :lla:

HUOM! Ainoastaan epälineaariset termit linearisoidaan. Sijoittamalla :n paikalle saadaan asiat mahdottoman monimutkaisiksi.

Linearisoidun DY:n ratkaisuksi osoittautuu

,

missä ja ovat heilurin aloituskulmasta ja -nopeudesta riippuvia vakioita. Itse DY:n ratkaisumenetelmään palataan myöhemmässä vaiheessa. Linearisoidun yhtälön ratkaisu ei ole alkuperäisen DY:n ratkaisu, mutta se on arvio sille. Kuten pienen kulman approksimaatio, myös linearisoidun DY:n ratkaisu heikkenee nopeasti heilahduskulman kasvaessa.

Alaviitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Reaalimuuttuja tarkoittaa muuttujaa, joka on aina reaaliluku.
  2. Tutumpi muoto Newtonin 2. laille lienee , missä on kappaleeseen vaikuttava voima ja on kappaleen kiihtyvyys.
  3. Muistetaan, että määräämättömän integraalin ratkaiseminen tuottaa integroidun funktion lisäksi mielivaltaisen integrointivakion.
  4. Eksplisiittisesti eli suljetussa muodossaan; DY muodostuu kahdesta eri yhtälöstä, siis se ei ole normaalimuodossa!
  5. Ts. jos on olemassa reaaliset vakiot , ja siten, että , missä on mielivaltainen reaaliarvoinen funktio.


Differentiaaliyhtälöt 75%.svg
Differential equation.svg

Johdanto75%.svg | Johdatus differentiaaliyhtälöihin 75%.svg | Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Lisää esimerkkejä 25%.svg (muokkaa)