Differentiaaliyhtälöt/Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Wikikirjastosta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun


Differentiaaliyhtälöt 75%.svg
Differential equation.svg

Johdanto75%.svg | Johdatus differentiaaliyhtälöihin 75%.svg | Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Lisää esimerkkejä 25%.svg (muokkaa)

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat differentiaaliyhtälöitä, joissa esiintyy funktioiden toisen kertaluvun derivaattoja. Toisen kertaluvun DY:t ovat yleisesti ottaen vaikeampia ratkaista kuin ensimmäisen kertaluvun. Toisen kertaluvun DY on funktio, joka on muotoa

.

DY on normaalimuotoinen, jos se on muotoa

.

Yksinkertaisuuden vuoksi rajoitetaan tämän aihealueen tarkastelut vain normaalimuotoisiin ja lineaarisiin DY:ihin. Toisen kertaluvun DY:iden ratkaiseminen eroaa ensimmäisen kertaluvun DY:iden ratkomisesta mm. seuraavasti:

  • Yleistä ratkaisukaavaa ei ole.
  • Jokaiselle yhtälötyypille on oma teoriansa.
  • Ratkaisuissa yritetään löytää ns. perusratkaisut, joiden avulla kaikki ratkaisut voidaan muodostaa.

Terminologiaa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Ratkaise differentiaaliyhtälö tarkoittaa sitä, että on etsittävä kaikki derivoituvat funktiot , jotka toteuttavat annetun DY:n. Ratkaisuja on yleensä äärettömän monta, mikä johtuu lähes aina integrointivakioiden mielivaltaisesta valinnasta. Ts. vastaukseksi haetaan yleistä yhtälöä, ei erikoistapausta.
  • Ratkaise alkuarvotehtävä
tarkoittaa sitä, että on etsittävä jokin derivoituva funktio joka toteuttaa annetun DY:n sekä alkuehdot. Ratkaisuna olevan funktion määrittelyvälissä voi olla pieni tai suuri luku. Määrittelyjoukon on oltava avoin väli, sillä funktion derivoituvuus on määritelty aina avoimella välillä. Huomaa, että määrittelyjoukon ei tarvitse olla äärellinen väli. Myös positiivinen ja negatiivinen ääretön voivat olla välin avoimia päätepisteitä. Toisen kertaluvun DY:n alkuarvotehtävän ratkaisemiseksi tarvitaan aina kaksi alkuehtoa. Alkuehdot voivat olla joko funktion ja sen derivaatan arvot tietyssä pisteessä (kuten edellä) tai funktion arvot kahdessa eri pisteessä (esim. ja ). Jälkimmäisessä tapauksessa alkuarvotehtävää kutsutaan reuna-arvotehtäväksi.

Määritelmä 1: lineaarinen differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen kertaluvun normaalimuotoinen DY on lineaarinen, jos se on muotoa

,

missä ovat jatkuvia funktioita joillain , . Muussa tapauksessa DY on epälineaarinen. Toisen kertaluvun epälineaaristen DY:iden teoria on verrattain haastavaa, joten se sivuutetaan tässä osiossa. Epälineaaristenkin DY:iden käsittely helpottuu huomattavasti, jos yhtälössä ei esiinny suoraa riippuvuutta :stä tai :stä:

Esimerkki 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos toisen kertaluvun normaalimuotoinen differentiaaliyhtälö on muotoa

,

päästään ratkaisun kimpuun käyttämällä apufunktiota . Tällöin toteuttaa yhtälön

,

joka on ensimmäisen kertaluvun DY ja siten ratkaistavissa aiemmin opituin menetelmin. Kun on ratkaistu, saadaan alkuperäisen DY:n ratkaisu integroimalla:

,

missä on integrointivakio.

Määritelmä 2: homogeeninen differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen kertaluvun lineaarinen DY on homogeeninen, jos .

Kuuluisia differentiaaliyhtälöitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat erityisesti siitä tärkeitä, että niillä on usein jokin sovellus tai merkitys fysiikassa. Niiden ratkaisut eivät myöskään yleensä ole eksplisiittisiä. Joidenkin DY:iden ratkaisufunktiot ja itse DY:t on nimetty keksijänsä mukaan. Tässä on niistä joitain.

Legendren differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaaliyhtälöitä, jotka ovat muotoa

,

missä , kutsutaan Legendren differentiaaliyhtälöiksi. Jos , niin DY:n ratkaisut ovat nk. Legendren polynomeja.

Besselin differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaaliyhtälöitä, jotka ovat muotoa

,

missä , kutsutaan Besselin differentiaaliyhtälöiksi. Jos , niin DY:n ratkaisut ovat nk. Besselin funktioita.

Hypergeometrinen yhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Differentiaaliyhtälöitä, jotka ovat muotoa

,

missä , kutsutaan hypergeometrisiksi differentiaaliyhtälöiksi. Näiden DY:iden ratkaisut ovat nk. hypergeometrisia funktioita.

Homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lause 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon funktiot ja homogeenisen differentiaaliyhtälön

ratkaisuja. Tällöin myös niiden lineaarikombinaatio

,

missä , on ko. yhtälön ratkaisu.

Määritelmä 3: ratkaisukanta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktiot muodostavat homogeenisen DY:n ratkaisukannan, jos jokaiselle saman DY:n ratkaisulle on olemassa vakiot siten, että

kaikilla .

Ratkaisukanta on siis eräänlainen DY:n perusratkaisuiden joukko, jonka avulla voidaan esittää saman DY:n mikä tahansa muu ratkaisu. Jotta ratkaisukanta olisi hyvin määritelty, sille pitää olla voimassa seuraavat vaatimukset:

  • Funktioiden ja on oltava itse DY:n ratkaisuja (luonnollisestikin!).
  • Funktioiden ja on oltava eri funktiot muullakin tapaa kuin vakiota vaille. Esimerkiksi DY:n ratkaisuja ovat (esimerkiksi) funktiot , ja . Määritelmän 3 perusteella on huono valinta ratkaisukannaksi, sillä funktiota ei voi esittää funktioiden ja lineaarikombinaationa. Sen sijaan on hyvä valinta ratkaisukannaksi.
  • Funktioiden ja on siis oltava lineaarisesti riippumattomia.

Määritelmä 4: lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktiot ovat lineaarisesti riippuvia (lyhennetään LD, en. Linearly Dependent), jos on olemassa vakiot siten, että tai (tai molemmat) ja

kaikilla . Tämän kanssa yhtäpitävää on se, että on olemassa vakio siten, että joko tai kaikilla .

Vastaavasti funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia (lyhennetään LI, en. Linearly Independent), jos ehdosta kaikilla seuraa, että .

HUOM! Jos ja , niin ja ovat väistämättä lineaarisesti riippuvia. Näin ollen nollafunktio ei voi kuulua yhdenkään DY:n ratkaisukantaan.[1]

Esimerkki 2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Osoitetaan, että funktiot , ja ovat lineaarisesti riippumattomia käyttäen epäsuoraa todistusta. Antiteesi[2]: ja ovat lineaarisesti riippuvia. Tällöin on olemassa vakiot siten, että tai ja kaikilla . Ts.

Derivoidaan yhtälö puolittain:

Tämän pitää päteä kaikilla . Ainoa vaihtoehto on, että , jolloin . Tämä on ristiriita, sillä molemmat vakiot eivät saaneet olla nollia. Siis alkuperäinen väite on tosi.

Kahden funktion lineaarisen riippumattomuuden tarkistaminen tai todistaminen esimerkin 2 tapaan on kuitenkin varsin työlästä. Esitetään seuraavaksi menetelmä, jonka avulla voidaan nopeammin todeta lineaarinen riippuvuus tai riippumattomuus.

Määritelmä 5: Wronskin determinantti[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon . Funktioiden ja Wronskin determinantti on (jatkuva) funktio ,[3]

kaikilla .

Lemma 1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos ja on olemassa luku siten, että , niin ja ovat lineaarisesti riippumattomia.

HUOM! Lemma 1 ei toimi toisin päin. Ts. jos ja ovat lineaarisesti riippumattomia, niin välttämättä ei pidä paikkansa, että kaikilla . Esimerkiksi jos ,

ja

niin ja ovat lineaarisesti riippumattomia, mutta kaikilla .

Lause 2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon funktiot differentiaaliyhtälön ratkaisuja. Tällöin ne ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain, jos on olemassa siten, että .

Lause 3[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä[5] lineaarisen, homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuille :

  1. Funktiot ja muodostavat ratkaisukannan.
  2. Funktiot ja ovat lineaarisesti riippumattomia.
  3. jollakin .
  4. kaikilla .

Esimerkki 3[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö . Suhteellisen helposti voidaan todeta, että funktiot ja ovat DY:n eräät ratkaisut. Lisäksi

kaikilla . Tällöin ja ovat LI. Kaikki DY:n ratkaisut ovat muotoa

,

missä .

Esimerkki 4[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö . Suhteellisen helposti voidaan todeta, että funktiot ja ovat DY:n eräät ratkaisut. Lisäksi

.

Tällöin ja ovat LI. Kaikki DY:n ratkaisut ovat muotoa

,

missä .

Lause 4[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälöllä

on aina olemassa ratkaisukanta.

Ratkaisukannan löytäminen kertaluvun pudotuksella[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Edellisen luvun perusteella homogeenisen differentiaaliyhtälön

kaikki ratkaisut löytyvät, jos löydetään kaksi toisistaan lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Tässä luvussa todetaan, että riittää löytää vain yksi ei-triviaali ratkaisu.[1] Koko touhun idea on melko yksinkertainen:


Olkoon ja homogeenisen DY:n ratkaisu siten, että kaikilla . Etsitään toinen perusratkaisu, joka on muotoa

kaikilla jollekin funktiolle . Ratkaistaan :

Jaetaan yhtälö puolittain :llä. Tämä on mahdollista, koska oletettiin, että kaikilla . Määritellään lisäksi funktio ,

.

Tällöin

Merkitään edelleen :

Tiedetään[7], että tämän DY:n eräs ratkaisu on

.

Siispä

Tällöin on eräs ratkaisu. Ratkaisut ja ovat lisäksi lineaarisesti riippumattomia, sillä


Esimerkki 5[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö

Havaitaan, että eräs ratkaisu on :

ja , jolloin

.

Olkoon . Tällöin ja . Olkoon

Merkitään . Tällöin

Tällöin

,

missä ovat vakioita. Toinen ratkaisu on tällöin


Yhdistetään ratkaisut:

Muotoillaan vakioita uudelleen siten, että ja . Tällöin ratkaisu on ,


Esimerkki 6[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan 1. asteen Legendren differentiaaliyhtälö ():

Eräs ratkaisu on , sillä , ja .

Olkoon . Tällöin

Koska , voidaan jakaa yhtälö puolittain :llä:

Merkitään :

Tällöin

missä on vakio. Tehdään funktion lausekkeelle osamurtokehitelmä:

Ratkaistaan :

missä on vakio. DY:n toinen ratkaisu on tällöin

Yhdistetään ratkaisut:

Muotoillaan vakioita uudelleen siten, että ja . Tällöin ratkaisu on ,

.

Vakiokertoiminen homogeeninen differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan vakiokertoimista homogeenista differentiaaliyhtälöä

,

missä ovat vakioita. Tehdään sivistynyt arvaus, että DY:n ratkaisut ovat muotoa , missä . Tällöin huomataan, että

Sijoitetaan nämä DY:öön:

Siis jos luku toteuttaa 2. asteen yhtälön (), niin on DY:n ratkaisu. Yhtälöä () sanotaan ko. differentiaaliyhtälön karakteristiseksi yhtälöksi, jonka ratkaisut ovat[8]

ja .

Jos [muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos , niin saadaan ratkaisut

Lisäksi

,

sillä . Lauseen 3 nojalla kaikki DY:n ratkaisut ovat muotoa ,

.

Jos [muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos , niin saadaan vain yksi ratkaisu . Toinen ratkaisu löydetään kertaluvun pudotuksella: . Tällöin

Siis , missä ovat vakioita. Koska DY:n yleinen ratkaisu syntyy vasta ratkaisujen summasta, voidaan olettaa, että ja . DY:n kaikki ratkaisut ovat siis muotoa ,

.

Jos [muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos , niin piipahdetaan hetkeksi kompleksilukujen maailmaan. Karakteristisella yhtälöllä on kaksi kompleksista juurta:

Ratkaisut ovat siis

ja

Lyhennyssyistä merkitään ja . Koska , niin ja ovat molemmat reaalilukuja. Lyhennysmerkintöjä käyttäen ratkaisut ovat

ja .

Yleinen ratkaisu voidaan kuitenkin sieventää siten, että se on puhtaasti reaalinen funktio. Eulerin lauseen mukaan kaikille reaaliluvuille . Siis

ja [9]

Koska ja ovat DY:n ratkaisuja, niin lauseen 1 nojalla myös funktiot ja ovat ratkaisuja.

ja

Merkitään ja . Lauseen 1 nojalla funktiot ja ovat DY:n ratkaisuja. Ne ovat lisäksi lineaarisesti riippumattomia (todistus: harjoitustehtävä), joten kaikki ratkaisut ovat muotoa ,

Lause 5[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön ratkaisut ovat ,

  1. Jos : , missä ja
  2. Jos : , missä
  3. Jos : , missä ja

sekä ja ovat vakioita.

Esimerkki 7[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö . Kyseessä on vakiokertoiminen DY, jonka karakteristinen yhtälö on . Karakteristisen yhtälön ratkaisut ovat

.

DY:n ratkaisu on siis , .

Yleinen lineaarinen differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tässä kappaleessa osoitetaan, että yleinen lineaarinen differentiaaliyhtälö ratkeaa selvittämällä ensin vastaavan homogeenisen DY:n ratkaisukanta. Tämän jälkeen ratkaistaan DY:n epähomogeenisen osan osaratkaisut. DY:n ratkaisu on näiden kahden vaiheen summa.

Tarkastellaan lineaarista differentiaaliyhtälöä

,

missä ovat jatkuvia funktioita. Havaitaan, että jos funktiot ja ovat DY:n () ratkaisuja, niin funktio on vastaavan homogeenisen DY:n ratkaisu:

Lause 6[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Oletetaan, että funktiot muodostavat lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisukannan ja olkoon jokin DY:n () ratkaisu. Tällöin DY:n () kaikki ratkaisut ovat muotoa


HUOM! Jos on DY:n ja DY:n ratkaisu, niin on DY:n ratkaisu.

Esimerkki 8[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan differentiaaliyhtälö . Vastaava homogeeninen DY on , jonka karakteristinen yhtälö on . Karakteristisen yhtälön juuret ovat . Lauseen 5 mukaan homogeenisen DY:n ratkaisu on , missä ovat vakioita.

Etsitään epähomogeenisen osan osaratkaisut:

DY:n ratkaisu on siis .

Vakiokertoiminen ei-homogeeninen differentiaaliyhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mikäli vakiokertoimisessa lineaarisessa differentiaaliyhtälössä funktio on tiettyä muotoa, löytyy ratkaisu kokeilemalla. Tämän vuoksi vakiokertoimisten ei-homogeenisten DY:iden ratkaisemista voikin kutsua sivistyneeksi arvaukseksi.

Jos q on polynomi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon n. asteen polynomi. Ts. olkoon ja siten, että ,

.

Arvataan, että epähomogeenisen osan osaratkaisu on myös n. asteen polynomi. Olkoon ja

.

Tällöin

Sijoitetaan derivoidut lausekkeet differentiaaliyhtälöön:

Yhtälön kummallakin puolella jokaisen asteen monomien kertoimien on oltava yhtä suuret. Saadaan yhtälöryhmä:

Toisin sanoen

Jäljelle jää ratkaistavaksi yhtälöryhmästä kertoimet .

Esimerkki 9[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan differentiaaliyhtälön epähomogeeninen osa. Nyt on 2. asteen polynomi, joten arvataan, että ratkaisu on 2. asteen polynomi . Derivoidaan arvaus:

Sijoitetaan nämä DY:öön:

Saadaan yhtälöryhmä

Yhtälöryhmän ratkaisu on

Epähomogeenisen osan ratkaisu on siis .

Jos q on eksponenttifunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon eksponenttifunktio. Ts. olkoon siten, että . Arvataan, että epähomogeenisen osan osaratkaisu on myös eksponenttifunktio. Tällöin edessä on kolme vaihtoehtoa sen mukaan, mikä tai mitkä ovat DY:n karakteristisen yhtälön () juuret ja mikä luku on.

Jos ei ole karakteristisen yhtälön juuri, niin epähomogeenisen osan ratkaisu on , missä on vakio, joka pitää vielä ratkaista.

Jos on karakteristisen yhtälön toinen juuri (), niin epähomogeenisen osan ratkaisu on , missä on vakio, joka pitää vielä ratkaista.

Jos on karakteristisen yhtälön kaksinkertainen juuri (), niin epähomogeenisen osan ratkaisu on , missä on vakio, joka pitää vielä ratkaista.

Esimerkki 10[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan seuraavien differentiaaliyhtälöiden epähomogeeniset osat: a) b) c)

a) DY:n karakteristinen yhtälö on . Sen juuret ovat ja . Koska ei ole kumpikaan karakteristisen yhtälön juurista, on DY:n osaratkaisu . Sijoitetaan tämä DY:öön ja ratkaistaan vakio :

Epähomogeenisen osan ratkaisu on siis .

b) DY:n karakteristinen yhtälö on . Sen juuret ovat ja . Koska , on DY:n osaratkaisu . Sijoitetaan tämä DY:öön ja ratkaistaan vakio :

Epähomogeenisen osan ratkaisu on siis .
c) DY:n karakteristinen yhtälö on . Sillä on kaksoisjuuri . Koska , on DY:n osaratkaisu . Sijoitetaan tämä DY:öön ja ratkaistaan vakio :

Epähomogeenisen osan ratkaisu on siis .

Jos q on sini- tai kosinifunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sekä sini- että kosinifunktio käsitellään samalla tavalla. Koska kaikilla , voidaan sinifunktio aina muuttaa kosinifunktioksi sopivalla muuttujanvaihdolla. Olkoon siis kosinifunktio. Ts. olkoon siten, että . Arvataan, että epähomogeenisen osan osaratkaisu on myös kosinifunktio. Tällöin edessä on kaksi vaihtoehtoa sen mukaan, mikä tai mitkä ovat DY:n karakteristisen yhtälön () juuret ja mikä luku on.

Jos ei ole karakteristisen yhtälön juuri, niin epähomogeenisen osan ratkaisu on , missä ovat vakioita, jotka pitää vielä ratkaista.

Jos on karakteristisen yhtälön juuri, niin epähomogeenisen osan ratkaisu on , missä on vakio, joka pitää vielä ratkaista.

Esimerkki 11[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan seuraavien differentiaaliyhtälöiden epähomogeeniset osat: a) b)

a) Tehdään aluksi muuttujanvaihto , jolloin DY muokkautuu muotoon DY:n karakteristinen yhtälö on . Sen juuret ovat ja . Koska ei ole kumpikaan karakteristisen yhtälön juurista, on DY:n osaratkaisu

Sijoitetaan tämä DY:öön ja ratkaistaan vakiot ja :

Saadaan yhtälöpari:

Epähomogeenisen osan ratkaisu on siis .

b) DY:n karakteristinen yhtälö on . Sen juuret ovat ja . Koska , niin DY:n osaratkaisu on . Sijoitetaan tämä DY:öön ja ratkaistaan vakio :


Epähomogeenisen osan ratkaisu on siis .

Lause 7[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön eräät ratkaisut ovat ,

  1. Jos on n. asteen polynomi, niin on polynomi
    1. Jos , niin , eli on n. asteen polynomi.
    2. Jos (ja ), niin , eli on n + 1. asteen polynomi.
  2. Jos
    1. Jos ei ole karakteristisen yhtälön ratkaisu, niin jollakin .
    2. Jos on karakteristisen yhtälön yksinkertainen juuri, niin jollakin .
    3. Jos on karakteristisen yhtälön kaksinkertainen juuri, niin jollakin .
  3. Jos
    1. Jos ei ole karakteristisen yhtälön juuri, niin joillakin .
    2. Jos on karakteristisen yhtälön juuri, niin jollakin .


Vakioiden variointi[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tarkastellaan jälleen yleistä lineaarista differentiaaliyhtälöä

,

missä ovat jatkuvia funktioita. Oletetaan, että funktiot muodostavat vastaavan homogeenisen differentiaaliyhtälön

ratkaisukannan. Kuten edellä todettiin, DY:n () kaikki ratkaisut ovat muotoa ja DY:n () kaikki ratkaisut ovat muotoa , missä on ():n eräs ratkaisu. Ratkaisu löydetään nk. vakioiden varioinnilla seuraavasti:

Olkoon siten, että

.

Tarkoituksena on ratkaista funktiot ja siten, että toinen niistä perustuu DY:öön () ja toinen valitaan helpottamaan laskutoimituksia. Derivoidaan :