Tässä luvussa käydään läpi lisää esimerkkejä differentiaaliyhtälöiden ja alkuarvotehtävien ratkaisuista käyttäen edellisissä luvuissa käsiteltyjä työkaluja. Lisäksi osassa esimerkeistä on tarkoitus soveltaa differentiaaliyhtälöitä luonnontieteiden käyttöön.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
, kun
.
Ratkaisu
Kirjoitetaan DY muodossa
,
jolloin havaitaan, että kyseessä on lineaarinen DY. Funktiot
ja
ovat molemmat jatkuvia, kun
. DY:n integroiva tekijä on
,
DY:n ratkaisu on tällöin
Vastaus:
, missä
on vakio.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
.
Ratkaisu
Jos määritellään funktiot
ja
, niin huomataan, että DY on muotoa
, eli se on separoituva. Separoituvan DY:n ratkaisu vaatii sen, että
kaikilla
. Tämä toteutuu koko määrittelyjoukossa
, joten ratkaisua ei tarvitse rajoittaa. Separoidaan DY:
Integroidaan yhtälö puolittain käyttämällä tietoa
:
Tangentti on määritelty esimerkiksi välillä
, joten
.
Vastaus:
, missä
on vakio.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
, kun
.
Ratkaisu
Koska
, voidaan DY jakaa puolittain
:lla:
Esimerkissä 1.3 selvitetyn funktion kuvaajia vakion

eri arvoilla
Tämä on lineaarinen homogeeninen DY. Sen integroiva tekijä on
,
DY:n ratkaisu on tällöin
Koska integrointivakio on mielivaltainen, voidaan merkitä
, jolloin
.
Vastaus:
, missä
on vakio.
Ratkaise tämän wikikirjan ''logona'' toimiva differentiaaliyhtälö
.
Ratkaisu:
Jos määritellään funktiot
ja
, niin huomataan, että DY on muotoa
, eli se on separoituva. Separoituvan DY:n ratkaisu vaatii sen, että
tai
kaikilla
. Tämä toteutuu vain, jos
tai
vastaavasti. Separoidaan DY:
Integroidaan yhtälö puolittain ja ratkaistaan
:
Koska integrointivakio on mielivaltainen, voidaan merkitä
, jolloin
. Ratkaisuun pääsemiseksi vaadittiin, että
tai
. Koska
kaikilla
, pitää valita
.
Vastaus:
, missä
on vakio.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
.
Ratkaisu: Tämä on vakiokertoiminen, ei-homogeeninen differentiaaliyhtälö. Ratkaisua varten pitää ensin ratkaista vastaava homogeeninen DY, jonka jälkeen epähomogeenisen osan osaratkaisu löytyy ''sivistyneen arvauksen'' avulla.
Alkuperäistä DY:tä vastaava homogeeninen DY on
.
Sen karakteristinen yhtälö on
,
jonka juuret ovat
ja
. Homogeenisen osan ratkaisu on lauseen 5 nojalla muotoa
.
Koska DY:n vasemmalla puolella oleva funktio
on eksponenttifunktio ja koska
tai
eivät ole karakteristisen yhtälön juuria, on epähomogeenisen osan osaratkaisu lauseen 7 nojalla:
jollakin
. Yleinen ratkaisu on muotoa
.
Ratkaistaan vakio
sijoittamalla tämä ratkaisu alkuperäisen DY:n lausekkeeseen:
ja
Siis
Ratkaistaan tästä vakio
:
Vastaus:
,
, missä
ovat vakioita.
Psykologien mukaan ihminen voi oppia korkeintaan tietyn määrän merkityksettömiä sanoja riippumatta siitä, kuinka kauan aikaa opettelemiseen on käytettävissä ja että oppimisen nopeus on verrannollinen vielä oppimattomien sanojen määrään. Jos tämä määrä on 100 sanaa, toteuttaa oppimisen nopeus differentiaaliyhtälön
,
missä
on positiivinen vakio ja
on ajan
(minuutteina) kuluessa opittujen sanojen määrä. Ratkaise differentiaaliyhtälö, kun tiedetään, että alussa opittujen sanojen lukumäärä on nolla.[1]
Ratkaisu
Kun järjestellään termejä uudelleen, huomataan, että kyseinen DY on lineaarinen ja vakiokertoiminen:
Lisäksi tehtävänannosta selviää alkuarvo:
DY:n integroiva tekijä on
,
DY:n ratkaisu on tällöin
Esimerkissä A.1 selvitetyn funktion kuvaajia vakion

eri arvoilla. Funktiolla on
asymptootti 
(vaakasuora katkoviiva).
Sijoitetaan alkuarvotieto yhtälöön (
):
Vastaus:
Ilman aiheuttaman vastusvoiman suuruus liikkuvaan kappaleeseen noudattaa yhtälöä
,
missä
on kappaleen muodosta riippuva vakio,
on ilman tiheys,
on kappaleen nopeuden suuntaan nähden kohtisuora pinta-ala ja
on kappaleen vauhti.[2]
a) Lähtien liikkeelle Newtonin 2. laista
, missä
on kappaleen massa (vakio) ja
sen kiihtyvyys, johda yhtälö vapaasti putoavan kappaleen vauhdille ajan funktiona, kun kappale lähtee putoamaan levosta ja siihen vaikuttavat Maan vetovoima
, missä
on vakio ja ilmanvastus
. Parametrit
,
ja
ovat kaikki ajan suhteen muuttumattomia vakioita.
b) Osoita, että kappaleen pudotessa kauan (
) se saavuttaa lopulta terminaalinopeuden
.
Ratkaisu:
a) Koska ollaan kiinnostuneita ainoastaan liikkeelle lähdöstä ja sen jälkeisistä tilanteista, voidaan määrittelyjoukoiksi asettaa
. Jos sovitaan positiivinen tarkastelusuunta alaspäin, on Newtonin 2. lain mukaan putoavan kappaleen liikeyhtälö
Kiihtyvyys
on kappaleen vauhdin derivaatta ajan suhteen:
Järjestellään termejä uudelleen:
,
missä
on vakio. Jos määritellään funktiot
ja
, niin
, eli DY on eksakti. Separointi on mahdollista vain, jos
kaikilla
. Ratkaisua joudutaan siksi ehkä myöhemmin rajoittamaan siten, että
tai
, eli että
tai
Separoidaan DY:
Integroidaan yhtälö puolittain. Oikea puoli on hyvin yksinkertainen, mutta vasen puoli vaatii pientä avaamista. Onneksi tiedetään, että jos
on vakio, niin
(hyperbolinen arkustangentti)
Näin ollen
Siis
Ratkaistaan tästä yhtälöstä nopeus:
Tiedetään, että
kaikilla
, joten ratkaisulle saadaan myös yläraja:
Ratkaistaan vielä vakio
, kun tiedetään, että kappale lähtee levosta. Sijoitetaan ratkaisuun
ja
:
Esimerkki A.2: Putoavan kappaleen vauhti ajan funktiona, kun ilmanvastus otetaan huomioon
Siis kappaleen nopeus on
b) Tiedetään, että
.[3] Tällöin kappaleen terminaalinopeus on
Q.E.D.
Vastaus: a)
Ratkaise alkuarvotehtävä
Ratkaisu:
Huomataan, että funktiolle
pätee
ja
DY on siis eksakti ja sen ratkaisu on
, missä
on vakio:
.
Tässä vaiheessa DY on tavallaan jo ratkaistu, joten vakio
voidaan määrittää alkuarvon avulla. Sijoitetaan yhtälöön
ja
:
Ts. DY:n ratkaisu on
. Ratkaistaan sitten
suljetussa muodossaan käyttämällä 2. asteen yhtälön ratkaisukaavaa:
Tuloksena on kuitenkin kaksi eri funktiota, joten pitää päättää, kumpi etumerkki
ratkaisuun kelpaa. Tämä selviää jälleen kerran alkuarvon avulla. Koska
ja
,
niin ratkaisuksi kelpaa vain funktio
.
Vielä pitää selvittää sen määrittelyjoukko. Ko. funktio on määritelty reaaliluvuilla vain, jos neliöjuuren alla oleva lauseke on ei-negatiivinen:
. Tämä 4. asteen polynomin sisältävä epäyhtälö on haastava ratkaista, ja koska esimerkki käsittelee differentiaaliyhtälöitä, eikä epäyhtälöitä, tyydytään likiarvoihin:
tai
. Alkuarvokohta
toteuttaa jälkimmäisen ehdon, joten se on määrittelyjoukon alaraja.
Vastaus:
,
Ratkaistaan luvun johdatus differentiaaliyhtälöihin esimerkki 2:
Tarkastellaan kattoon ripustettua matemaattista heiluria. Ajanhetkellä
heiluri muodostaa pystytason kanssa kulman
. Olkoon heilurin langan pituus
ja langan päässä olevan punnuksen massa
(voidaan olettaa, että langan massa on merkityksettömän pieni punnuksen massaan nähden). Gravitaatiokentän putoamiskiihtyvyys on
. Ajanhetkellä
heilurin kulma pystytasoon nähden on
ja heiluri lähtee liikkeelle kulmanopeudella
langan kiinnityspisteeseen nähden. Ratkaistaan siis alkuarvotehtävä
Ratkaisu: Koska meillä ei vielä ole työkaluja epälineaaristen 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, tyydytään linearisoimaan alkuperäinen DY. Oletetaan alkunopeus tarpeeksi pieneksi, jotta jokaisella ajanhetkellä kiertokulma
. Tällöin voidaan käyttää pienen kulman approksimaatiota
,
eli
. DY muokkautuu muotoon
.
Selkeyden vuoksi merkitään linearisoitua muuttujaa
:lla, jolloin DY on
.
Koska
, voidaan merkitä käytännöllisyyssyistä
.
Ts.
.
Tämä on vakiokertoiminen, homogeeninen DY. Sen karakteristinen yhtälö on
,
eli
.
Karakteristisen yhtälön juuret ovat
.
DY:n ratkaisut ovat lauseen 5 nojalla muotoa
Käytetään alkuehtoa
:
Tällöin
Tästä saadaan
.
Käytetään alkuehtoa
:
Vastaus:
,
Äärettömän syvä, yksiulotteinen, suorakulmainen potentiaalikuoppa
Kvanttimekaniikassa potentiaalikuoppa tarkoittaa systeemiä, jossa hiukkasen (esimerkiksi elektronin) liike-energia rajoitetaan johonkin äärelliseen arvoon. Klassisen mekaniikan mukaan kyseisen hiukkasen kokonaisenergia voi tällöin olla mitä tahansa. Kvanttimekaniikassa hiukkasen energia voi kuitenkin saada vain tietyt arvot. Kokonaisenergian arvot ovat diskreettejä ja sanotaan, että energia on kvantittunut. Ajasta riippumattomassa tapauksessa tämä kokonaisenergia voidaan selvittää stationaarisen Schrödingerin yhtälön avulla:
,
missä
on hiukkasen massa,
on redusoitu Planckin vakio,
on hiukkasen potentiaalienergia,
on hiukkasen kokonaisenergia ja
on hiukkasen paikan todennäköisyyteen liittyvä aaltofunktio. Ratkaistaan Schrödingerin yhtälö tapauksessa, jossa hiukkanen on vangittuna yksiulotteiseen, äärettömän syvään, suorakulmaiseen potentiaalikuoppaan, jonka leveys on
. Hiukkasen potentiaalienergiaa kuvaava funktio on
Määrittelyjoukko on siis
. Toisin sanoen ratkaistavana on reuna-arvotehtävä
Tavallisuudesta poiketen ei tällä kertaa yritetä ratkaista DY:tä täydellisesti, vaan etsitään ainoastaan lauseke hiukkasen kokonaisenergialle
.
Ratkaisu:
Määrittelyjoukossa
potentiaalienergia on
, joten DY on
.
Merkitään lyhennyssyistä
.
Näin voidaan tehdä reaalilukujen maailmassa, koska
. Järjestellään termejä uudelleen, jolloin DY muovautuu muotoon
,
joka on lineaarinen, vakiokertoiminen, homogeeninen DY. Sen karakteristinen yhtälö on
,
eli
.
Karakteristisen yhtälön juuret ovat
.
DY:n ratkaisut ovat lauseen 5 nojalla muotoa
Ratkaistaan vakiot
ja
käyttäen reuna-arvoja (hiukkanen ei voi esiintyä potentiaalikuopan reunan ulkopuolella):
Näiden yhtälöiden on oltava voimassa yhtä aikaa. Käytetään tietoa, että sini on pariton funktio ja kosini on parillinen funktio[4], jolloin saadaan kaksi yhtälöparia:
Triviaaliratkaisu
ei kelpaa, joten
. Yhtälöparista saadaan joko
tai
Toisaalta tapaus
joudutaan hylkäämään ratkaisusta, sillä se johtaisi tilanteeseen
, jolloin
, joka on triviaaliratkaisuna kielletty. Siispä päädytään tilanteeseen
.
Tällöin, koska aiemmin merkittiin
,
niin
.
Ratkaistaan tästä kysytty hiukkasen kokonaisenergia:
.
Samalla osoitettiin, että hiukkasen kokonaisenergia on diskreetti, koska
voi olla vain positiivinen kokonaisluku.
Vastaus: Hiukkasen kokonaisenergia on
, missä
.
- ↑ Canterburyn yliopisto: 100-level Mathematics Revision Exercises, Differential Equations, Assesment-style Question: First Order Differential Equations, viittauspäivämäärä 12.6.2019.http://www.math.canterbury.ac.nz/php/resources/math100/differential-equations/first-order-differential-equations.gif (englanniksi)
- ↑ Knight, Randall D. Physics for Scientists and Engineers, A Strategic Approach with Modern Physics, 3. painos, s. 174 − 175, Pearson, 2014. ISBN: 978-1-292-02078-5
- ↑ Hyperbolisten funktioiden määritelmien mukaan
, kun
.
- ↑ Sini on pariton funktio, eli
kaikilla
. Kosini on parillinen funktio, eli
kaikilla
.