Differentiaaliyhtälöt/Esimerkkejä ja sovelluksia

Wikikirjastosta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun


Differentiaaliyhtälöt 75%.svg
Differential equation.svg

Johdanto75%.svg | Johdatus differentiaaliyhtälöihin 75%.svg | Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Lisää esimerkkejä 25%.svg (muokkaa)

Esimerkkejä ja sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tässä luvussa käydään läpi lisää esimerkkejä differentiaaliyhtälöiden ja alkuarvotehtävien ratkaisuista käyttäen edellisissä luvuissa käsiteltyjä työkaluja. Lisäksi osassa esimerkeistä on tarkoitus soveltaa differentiaaliyhtälöitä luonnontieteiden käyttöön.

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki 1.1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaise differentiaaliyhtälö , kun .

Ratkaisu

Kirjoitetaan DY muodossa

,

jolloin havaitaan, että kyseessä on lineaarinen DY. Funktiot ja ovat molemmat jatkuvia, kun . DY:n integroiva tekijä on ,

DY:n ratkaisu on tällöin

Vastaus: , missä on vakio.

Esimerkki 1.2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaise differentiaaliyhtälö .

Ratkaisu

Jos määritellään funktiot ja , niin huomataan, että DY on muotoa , eli se on separoituva. Separoituvan DY:n ratkaisu vaatii sen, että kaikilla . Tämä toteutuu koko määrittelyjoukossa , joten ratkaisua ei tarvitse rajoittaa. Separoidaan DY:

Integroidaan yhtälö puolittain käyttämällä tietoa :

Tangentti on määritelty esimerkiksi välillä , joten .

Vastaus: , missä on vakio.

Esimerkki 1.3[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaise differentiaaliyhtälö , kun .

Ratkaisu

Koska , voidaan DY jakaa puolittain :lla:

Esimerkissä 1.3 selvitetyn funktion kuvaajia vakion eri arvoilla

Tämä on lineaarinen homogeeninen DY. Sen integroiva tekijä on ,

DY:n ratkaisu on tällöin

Koska integrointivakio on mielivaltainen, voidaan merkitä , jolloin .

Vastaus: , missä on vakio.

Esimerkki 1.4[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaise tämän wikikirjan ''logona'' toimiva differentiaaliyhtälö

.

Ratkaisu:

Jos määritellään funktiot ja , niin huomataan, että DY on muotoa , eli se on separoituva. Separoituvan DY:n ratkaisu vaatii sen, että tai kaikilla . Tämä toteutuu vain, jos tai vastaavasti. Separoidaan DY:

Integroidaan yhtälö puolittain ja ratkaistaan :

Koska integrointivakio on mielivaltainen, voidaan merkitä , jolloin . Ratkaisuun pääsemiseksi vaadittiin, että tai . Koska kaikilla , pitää valita .

Vastaus: , missä on vakio.


Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki 2.1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaise differentiaaliyhtälö

.

Ratkaisu: Tämä on vakiokertoiminen, ei-homogeeninen differentiaaliyhtälö. Ratkaisua varten pitää ensin ratkaista vastaava homogeeninen DY, jonka jälkeen epähomogeenisen osan osaratkaisu löytyy ''sivistyneen arvauksen'' avulla.

Alkuperäistä DY:tä vastaava homogeeninen DY on

.

Sen karakteristinen yhtälö on

,

jonka juuret ovat ja . Homogeenisen osan ratkaisu on lauseen 5 nojalla muotoa

.

Koska DY:n vasemmalla puolella oleva funktio on eksponenttifunktio ja koska tai eivät ole karakteristisen yhtälön juuria, on epähomogeenisen osan osaratkaisu lauseen 7 nojalla:

jollakin . Yleinen ratkaisu on muotoa

.

Ratkaistaan vakio sijoittamalla tämä ratkaisu alkuperäisen DY:n lausekkeeseen:

ja

Siis

Ratkaistaan tästä vakio :

Vastaus: , , missä ovat vakioita.

Ensimmäisen kertaluvun alkuarvotehtäviä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki A.1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Psykologien mukaan ihminen voi oppia korkeintaan tietyn määrän merkityksettömiä sanoja riippumatta siitä, kuinka kauan aikaa opettelemiseen on käytettävissä ja että oppimisen nopeus on verrannollinen vielä oppimattomien sanojen määrään. Jos tämä määrä on 100 sanaa, toteuttaa oppimisen nopeus differentiaaliyhtälön

,

missä on positiivinen vakio ja on ajan (minuutteina) kuluessa opittujen sanojen määrä. Ratkaise differentiaaliyhtälö, kun tiedetään, että alussa opittujen sanojen lukumäärä on nolla.[1]

Ratkaisu

Kun järjestellään termejä uudelleen, huomataan, että kyseinen DY on lineaarinen ja vakiokertoiminen:

Lisäksi tehtävänannosta selviää alkuarvo:

DY:n integroiva tekijä on ,

DY:n ratkaisu on tällöin

Esimerkissä A.1 selvitetyn funktion kuvaajia vakion eri arvoilla. Funktiolla on asymptootti (vaakasuora katkoviiva).

Sijoitetaan alkuarvotieto yhtälöön ():

Vastaus:

Esimerkki A.2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ilman aiheuttaman vastusvoiman suuruus liikkuvaan kappaleeseen noudattaa yhtälöä

,

missä on kappaleen muodosta riippuva vakio, on ilman tiheys, on kappaleen nopeuden suuntaan nähden kohtisuora pinta-ala ja on kappaleen vauhti.[2]

a) Lähtien liikkeelle Newtonin 2. laista , missä on kappaleen massa (vakio) ja sen kiihtyvyys, johda yhtälö vapaasti putoavan kappaleen vauhdille ajan funktiona, kun kappale lähtee putoamaan levosta ja siihen vaikuttavat Maan vetovoima , missä on vakio ja ilmanvastus . Parametrit , ja ovat kaikki ajan suhteen muuttumattomia vakioita.

b) Osoita, että kappaleen pudotessa kauan () se saavuttaa lopulta terminaalinopeuden .

Ratkaisu:

a) Koska ollaan kiinnostuneita ainoastaan liikkeelle lähdöstä ja sen jälkeisistä tilanteista, voidaan määrittelyjoukoiksi asettaa . Jos sovitaan positiivinen tarkastelusuunta alaspäin, on Newtonin 2. lain mukaan putoavan kappaleen liikeyhtälö

Kiihtyvyys on kappaleen vauhdin derivaatta ajan suhteen:

Järjestellään termejä uudelleen:

,

missä on vakio. Jos määritellään funktiot ja , niin , eli DY on eksakti. Separointi on mahdollista vain, jos kaikilla . Ratkaisua joudutaan siksi ehkä myöhemmin rajoittamaan siten, että tai , eli että tai Separoidaan DY:

Integroidaan yhtälö puolittain. Oikea puoli on hyvin yksinkertainen, mutta vasen puoli vaatii pientä avaamista. Onneksi tiedetään, että jos on vakio, niin

(hyperbolinen arkustangentti)

Näin ollen

Siis

Ratkaistaan tästä yhtälöstä nopeus:

Tiedetään, että kaikilla , joten ratkaisulle saadaan myös yläraja:

Ratkaistaan vielä vakio , kun tiedetään, että kappale lähtee levosta. Sijoitetaan ratkaisuun ja :

Esimerkki A.2: Putoavan kappaleen vauhti ajan funktiona, kun ilmanvastus otetaan huomioon

Siis kappaleen nopeus on

b) Tiedetään, että .[3] Tällöin kappaleen terminaalinopeus on

Q.E.D.


Vastaus: a)

Esimerkki A.3[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaise alkuarvotehtävä

Ratkaisu:

Huomataan, että funktiolle pätee

ja

DY on siis eksakti ja sen ratkaisu on , missä on vakio:

.

Tässä vaiheessa DY on tavallaan jo ratkaistu, joten vakio voidaan määrittää alkuarvon avulla. Sijoitetaan yhtälöön ja :

Ts. DY:n ratkaisu on . Ratkaistaan sitten suljetussa muodossaan käyttämällä 2. asteen yhtälön ratkaisukaavaa:

Tuloksena on kuitenkin kaksi eri funktiota, joten pitää päättää, kumpi etumerkki ratkaisuun kelpaa. Tämä selviää jälleen kerran alkuarvon avulla. Koska

ja

,

niin ratkaisuksi kelpaa vain funktio

.

Vielä pitää selvittää sen määrittelyjoukko. Ko. funktio on määritelty reaaliluvuilla vain, jos neliöjuuren alla oleva lauseke on ei-negatiivinen: . Tämä 4. asteen polynomin sisältävä epäyhtälö on haastava ratkaista, ja koska esimerkki käsittelee differentiaaliyhtälöitä, eikä epäyhtälöitä, tyydytään likiarvoihin: tai . Alkuarvokohta toteuttaa jälkimmäisen ehdon, joten se on määrittelyjoukon alaraja.

Vastaus: ,


Toisen kertaluvun alkuarvotehtäviä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Esimerkki B.1

Esimerkki B.1[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ratkaistaan luvun johdatus differentiaaliyhtälöihin esimerkki 2:

Tarkastellaan kattoon ripustettua matemaattista heiluria. Ajanhetkellä heiluri muodostaa pystytason kanssa kulman . Olkoon heilurin langan pituus ja langan päässä olevan punnuksen massa (voidaan olettaa, että langan massa on merkityksettömän pieni punnuksen massaan nähden). Gravitaatiokentän putoamiskiihtyvyys on . Ajanhetkellä heilurin kulma pystytasoon nähden on ja heiluri lähtee liikkeelle kulmanopeudella langan kiinnityspisteeseen nähden. Ratkaistaan siis alkuarvotehtävä


Ratkaisu: Koska meillä ei vielä ole työkaluja epälineaaristen 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, tyydytään linearisoimaan alkuperäinen DY. Oletetaan alkunopeus tarpeeksi pieneksi, jotta jokaisella ajanhetkellä kiertokulma . Tällöin voidaan käyttää pienen kulman approksimaatiota

,

eli . DY muokkautuu muotoon

.

Selkeyden vuoksi merkitään linearisoitua muuttujaa :lla, jolloin DY on

.

Koska , voidaan merkitä käytännöllisyyssyistä

.

Ts.

.

Tämä on vakiokertoiminen, homogeeninen DY. Sen karakteristinen yhtälö on

,

eli

.

Karakteristisen yhtälön juuret ovat

.

DY:n ratkaisut ovat lauseen 5 nojalla muotoa

Käytetään alkuehtoa :

Tällöin

Tästä saadaan

.

Käytetään alkuehtoa :

Vastaus: ,

Esimerkki B.2[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Äärettömän syvä, yksiulotteinen, suorakulmainen potentiaalikuoppa

Kvanttimekaniikassa potentiaalikuoppa tarkoittaa systeemiä, jossa hiukkasen (esimerkiksi elektronin) liike-energia rajoitetaan johonkin äärelliseen arvoon. Klassisen mekaniikan mukaan kyseisen hiukkasen kokonaisenergia voi tällöin olla mitä tahansa. Kvanttimekaniikassa hiukkasen energia voi kuitenkin saada vain tietyt arvot. Kokonaisenergian arvot ovat diskreettejä ja sanotaan, että energia on kvantittunut. Ajasta riippumattomassa tapauksessa tämä kokonaisenergia voidaan selvittää stationaarisen Schrödingerin yhtälön avulla:

,

missä on hiukkasen massa, on redusoitu Planckin vakio, on hiukkasen potentiaalienergia, on hiukkasen kokonaisenergia ja on hiukkasen paikan todennäköisyyteen liittyvä aaltofunktio. Ratkaistaan Schrödingerin yhtälö tapauksessa, jossa hiukkanen on vangittuna yksiulotteiseen, äärettömän syvään, suorakulmaiseen potentiaalikuoppaan, jonka leveys on . Hiukkasen potentiaalienergiaa kuvaava funktio on

Määrittelyjoukko on siis . Toisin sanoen ratkaistavana on reuna-arvotehtävä

Tavallisuudesta poiketen ei tällä kertaa yritetä ratkaista DY:tä täydellisesti, vaan etsitään ainoastaan lauseke hiukkasen kokonaisenergialle .

Ratkaisu:

Määrittelyjoukossa potentiaalienergia on , joten DY on

.

Merkitään lyhennyssyistä

.

Näin voidaan tehdä reaalilukujen maailmassa, koska . Järjestellään termejä uudelleen, jolloin DY muovautuu muotoon

,

joka on lineaarinen, vakiokertoiminen, homogeeninen DY. Sen karakteristinen yhtälö on

,

eli

.

Karakteristisen yhtälön juuret ovat

.

DY:n ratkaisut ovat lauseen 5 nojalla muotoa

Ratkaistaan vakiot ja käyttäen reuna-arvoja (hiukkanen ei voi esiintyä potentiaalikuopan reunan ulkopuolella):

Näiden yhtälöiden on oltava voimassa yhtä aikaa. Käytetään tietoa, että sini on pariton funktio ja kosini on parillinen funktio[4], jolloin saadaan kaksi yhtälöparia:

Triviaaliratkaisu ei kelpaa, joten . Yhtälöparista saadaan joko

tai

Toisaalta tapaus joudutaan hylkäämään ratkaisusta, sillä se johtaisi tilanteeseen , jolloin , joka on triviaaliratkaisuna kielletty. Siispä päädytään tilanteeseen

.

Tällöin, koska aiemmin merkittiin

,

niin

.

Ratkaistaan tästä kysytty hiukkasen kokonaisenergia:

.

Samalla osoitettiin, että hiukkasen kokonaisenergia on diskreetti, koska voi olla vain positiivinen kokonaisluku.

Vastaus: Hiukkasen kokonaisenergia on , missä .





Alaviitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Canterburyn yliopisto: 100-level Mathematics Revision Exercises, Differential Equations, Assesment-style Question: First Order Differential Equations, viittauspäivämäärä 12.6.2019.http://www.math.canterbury.ac.nz/php/resources/math100/differential-equations/first-order-differential-equations.gif (englanniksi)
  2. Knight, Randall D. Physics for Scientists and Engineers, A Strategic Approach with Modern Physics, 3. painos, s. 174 − 175, Pearson, 2014. ISBN: 978-1-292-02078-5
  3. Hyperbolisten funktioiden määritelmien mukaan , kun .
  4. Sini on pariton funktio, eli kaikilla . Kosini on parillinen funktio, eli kaikilla .


Differentiaaliyhtälöt 75%.svg
Differential equation.svg

Johdanto75%.svg | Johdatus differentiaaliyhtälöihin 75%.svg | Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 75%.svg | Lisää esimerkkejä 25%.svg (muokkaa)